Євдемони
Студенти-фізики, куплене за готівку колесо з казино і комп’ютер, такий малий, що його можна було пронести на собі до столу.
З 1976 до 1981 року група студентів-фізиків із Санта-Круза будувала цифрові комп’ютери, які хронометрували кульку й ротор і називали сектор колеса, поки ставки ще приймалися. Їхні випробування обіцяли перевагу 44%, а перша довга сесія дала близько 25%. Апаратура раз у раз відмовляла, версію, вбудовану в черевик, 1981 року здолали електричні завади, а виграли вони кілька тисяч доларів.
Здогад у барі Лас-Вегаса, 1975
Улітку 1975 року студент-фізик Норман Паккард (Norman Packard) два місяці рахував карти в блекджеку в Лас-Вегасі разом із другом, Джеком Байлзом (Jack Biles), і ледве вийшов у нуль. За останньою чаркою Байлз сказав, що готовий закластися: рулетку можна перемогти фізикою, і Паккард пригадав загадковий рядок у книжці Едварда Торпа (Edward Thorp) Beat the Dealer про метод для рулетки. Вони позичили магнітофон, ставали біля коліс у кількох казино й постукували по мікрофону щоразу, коли кулькаобладнанняКулькаМаленька кулька, яку запускають доріжкою проти обертання ротора. Сучасні кульки роблять з іворину або тефлону, 18–21 мм.Читати повністю → проминала нерухому точку. Нанесені на міліметровий папір, ці удари показали, що кулька сповільнюється й падає закономірно. Шкільний друг Паккарда Дойн Фармер (Doyne Farmer), аспірант Каліфорнійського університету в Санта-Крузі, називав це марнуванням часу, доки сам не зробив розрахунок: людина, яка може засікти час кульки з точністю приблизно до десятої частки секунди, мала б, на папері, вміти сказати, де кулька зупиниться, з точністю до кількох чисел.
Колесо у фізичній лабораторії
Навесні 1976 року Фармер і Ден Браун (Dan Browne) заплатили $1 500 готівкою за відновлене колесо з казино в майстерні в Ріно, сказавши, що воно потрібне для вечірки студентського братства. Місяцями вони ночами носили його до навчальної лабораторії університету й вимірювали інфрачервоними датчиками, саморобним електронним годинником і камерою, яку запускав звук удару кульки об метал. Те, що вони з’ясували, досі лишається добрим коротким переліком того, що важить у спіні. Найбільше кульку сповільнює повітря, більше, ніж доріжка. Колесо, яке відхиляється від рівня всього на десяту частку дюйма, змінює місце, де кулька сходить із доріжки, а на нахиленому колесі кулька зазвичай сходить на вищому боці, і це полегшує передбачення. Кульки різняться: тефлонова сповільнювалася вдвічі швидше, ніж кулька з композиту, з якого роблять більярдні кулі. І коли кулька вже зійшла з доріжки, вона ще відскакує, у середньому не далі, ніж на чверть чи третину кола. Від цього відскоку залежав увесь задум, і він виявився не таким широким, щоб звести передбачення нанівець. До кінця літа вони оцінили можливу перевагу в 44% – цю цифру Торп називав для власного пристрою.
Компанія і пиріг
Своє підприємство вони назвали Eudaemonic Enterprises – від грецького слова, що означає щастя життя, прожитого за розумом. Кожен, хто над ним працював, мав отримати плату з майбутніх виграшів пропорційно до вкладених годин: шматок того, що вони називали Євдемонічним пирогом (the Eudaemonic Pie). Виграші мали оплатити спільноту друзів, які займаються наукою на власних умовах.
Комп’ютер під пахвою, 1976–1978
Перша машина виросла з комп’ютера-конструктора, який у вересні 1976 року надійшов поштою за $250; його було побудовано на процесорі 6502, який використовували і комп’ютери Apple. Фармер, який доти ніколи не програмував, записав у нього рівняння для кульки й ротораобладнанняРоторОбертова частина колеса, на якій розташовані комірки.Читати повністю →. Версію для казино носили прив’язаною до тіла, під пахвою або, у жінок, у бюстгальтері. Гравець біля колеса клацав перемикачами під великими пальцями ніг: одним пальцем він відзначав зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю →, а потім кульку щоразу, коли вони проминали нерухому точку, другим перемикав програму між її налаштуваннями. Підгонка програми до конкретного колеса забирала близько двадцяти хвилин тихого клацання. Потім, через кілька секунд після початку кожного спіну, комп’ютер називав один із восьми секторівколесоСекторСуцільна дуга комірок на колесі, на відміну від групи чисел на ігровому полі.Читати повністю → колеса або сигналив «не ставити», змушуючи маленькі штовхачі вібрувати об шкіру. Другий гравець, який сидів далі за столом і був зв’язаний слабким радіосигналом, відчував ту саму вібрацію й накривав три-чотири числа цього сектора, іноді замінюючи одне з них сусіднім на колесі, щоб схему було важче розгледіти.
Перша поїздка, до озера Тахо й Ріно в грудні 1977 року, була однією довгою відмовою обладнання. За кілька тижнів у казино Golden Gate в центрі Лас-Вегаса Фармер грав сам чотири з половиною години по десять центів за фішкугрошіФішкаЖетон, що позначає певну суму; його кладуть на ігрове поле, щоб зробити ставку. Також: check.Читати повністю →. Прибуток був малий, але за кількасот спінів вони з Брауном обережно оцінили перевагу у 25%.
Літо 1978 року
Того літа група тижнями грала позмінно, в центрі міста й на Стрипі, по дві сесії на день і ніколи в тому самому казино два вечори поспіль. Про кожне казино вони вели записник: його колеса й наскільки ті відхиляються від рівня, його персонал, його перезмінки. Колеса Лас-Вегаса виявилися послужливо нахиленими, а нічні ігри – повільними, а саме цього комп’ютер і потребував, бо повільний ротор і швидка кулька лишають більше часу, щоб виміряти й поставити. Бували добрі ночі. У Circus Circus зміна круп’єлюдиКруп’єДилер за столом рулетки.Читати повністю → о другій ночі перетворила програшну сесію на кількасот доларів при 25 центах за фішку. І була безперервна низка відмов: дроти, що відходили, радіозв’язок, який плив разом із температурою, удари струмом від антенних дротів, зашитих у сорочки. Однієї ночі штовхачі заклинило, проводка перегрілася, і Інгрід Германн (Ingrid Hoermann) грала далі, терплячи опік, аби не кидати виграшний стіл. Персонал казино помічав виграші й жодного разу не помітив методу; якось круп’є, роздратований стосом фішок, що ріс, схопив колесо, що оберталося, і ривком прокрутив його.
За тринадцять місяців вони здійснили вісім поїздок до Невади й, ставлячи здебільшого по десять і двадцять п’ять центів, виграли кілька тисяч доларів. Сесія в California Club у грудні 1978 року принесла понад $1 000 за три години й переконала їх, що метод заслуговує на кращу апаратуру.
Паккард і Байлз хронометрують кульки рулетки магнітофоном у Лас-Вегасі.
Колесо з казино, куплене в Ріно; літо вимірювань; перший комп’ютер-конструктор.
Перша поїздка до казино, озеро Тахо й Ріно. Обладнання відмовляє.
Golden Gate, Лас-Вегас: чотири з половиною години на ставках по десять центів, перевагу оцінено у 25%.
Тижні гри в Лас-Вегасі з комп’ютером, який носять на тілі.
California Club: понад $1 000 за три години.
Комп’ютер перебудовують так, щоб він уміщався в черевик.
Лас-Вегас: електричні завади глушать радіозв’язок. Проєкт зупиняється.
Невада забороняє пристрої для передбачення. Виходить книжка The Eudaemonic Pie.
Комп’ютер у черевику, 1980–1981
Щоб позбутися дротів на тілі, вони вирішили вмістити все у взуття. Марк Труїтт (Mark Truitt), новоспечений випускник-фізик, який пішов зі співбесіди на роботу з військовими радарами, витратив на це півтора року. Ідею, завдяки якій усе вмістилося, подав університетський технік: вимикати комп’ютер між передбаченнями, і тоді йому треба набагато менше батарей. Труїтт розмістив мікросхеми на двох друкованих платах, які сам витравив, перевернув одну на другу й залив проміжок твердим воском; вийшов брусок приблизно два на чотири дюйми й пів дюйма завтовшки, по якому можна було ходити. Батареї, антена та два з трьох зумерів пішли в підбор. Три зумери на трьох швидкостях давали дев’ять сигналів: вісім секторів і «не ставити». Швець видовбав звичайні шкіряні черевики й ні про що не питав.
У листопаді 1981 року Фармер і письменник Томас Басс (Thomas Bass) повезли черевики й $2 500 до Лас-Вегаса. За першим столом перше передбачення влучило, а потім зумери почали спрацьовувати безладно. Казино повні електричних завад – від камер спостереження, неонових вивісок та ігрових автоматів, – і вони заглушили слабкий радіозв’язок між черевиками; телевізор у номері мотелю робив те саме. Дні ремонту вчотирьох цього не вилікували, і на цьому проєкт зупинився. Обладнання лягло у скриню в підвалі в Санта-Крузі.
Що означають 44%
На американському колесі пряма ставкаставкаПряма ставкаОдне число, виплата 35:1.Читати повністю → (straight up) виграє в середньому раз на 38 спінів і виплачується 35 до 1, що коштує гравцеві 5,26%. Перевага 44% – це те, чого варта та сама ставка, коли вона виграє раз на 25 спінів: на кожні 25 поставлених фішок повертається 36. Отже, комп’ютерові не треба було знати число. Він мав зробити так, щоб обрані ним числа випадали приблизно в півтора раза частіше, ніж дозволяє випадок.
Чому велика перевага все одно скидалася на азартну гру
Перевага при 35 до 1 виплачується повільно й нерівномірно. Один із радників групи попереджав, що гравець, який ставить $100 на число, може опинитися в мінусі на $10 000 чи $20 000, перш ніж перевага проявиться, і арифметика це підтверджує: з перевагою 44% на окремих числах гравець після 100 спінів усе ще в програші майже в одному випадку з чотирьох. Ось чому Євдемони починали з десятицентових ставок і нарощували банкролгрошіБанкролУся сума, відкладена на гру. Керування банкролом – це рішення про те, якою його часткою ризикувати в одній ставці та в одній сесії.Читати повністю → із виграшів і чому Алан Льюїс (Alan Lewis), який приєднався до них 1978 року, займався тим, скільки ставити. Згодом Фармер вважав, що вони були надто обережні. Малі ставки їх убезпечували, і вони ж означали, що роки праці принесли дуже мало.
Скільки це коштувало і що принесло
Близько $15 000 пішло на деталі, інструменти й платню Труїтта, здебільшого від Фармера та від Летті Белін (Letty Belin), юристки, яка згодом вийшла за нього заміж. Фармерові зарахували 3 500 годин роботи, Труїттові – 3 000, а Паккардові – 2 000. Проти цього стоять кілька тисяч доларів, виграних на малих ставках. 1983 року Фармер дав оголошення в журналі про азартні ігри, шукаючи інвесторів і описуючи прототип із доведеною перевагою в казино від 20 до 40%. Коли Євдемони грали, Белін, переглянувши закони Невади, не знайшла нічого, що забороняло б передбачати гру; у травні 1985 року штат зробив злочином використання для цього пристрою. Тривкою виявилася наука. Будуючи комп’ютери, Фармер, Паккард та їхні друзі вишколилися для вивчення хаосу, на якому й здобули собі ім’я.
Як читати цю книжку сьогодні
Томас Басс, який робив ставки в останній поїздці, розповів цю історію в книжці The Eudaemonic Pie (1985), побудованій на довгих інтерв’ю з групою, і вона є джерелом цієї сторінки. Її коротка історія рулетки менш надійна, ніж розповідь про проєкт. Вона повторює оповідку про шістьох найнятих клерків Джаггера, яка сягає книжки 1901 року й не далі (див. «Джозеф Джаггер»), і відносить випробування Торпа і Шеннона в казино до 1962 року, тоді як власні розповіді Торпа називають літо 1961 року.
Запитання
Ні. Вони виграли кілька тисяч доларів на ставках по десять і двадцять п’ять центів, а витратили близько $15 000 і багато тисяч годин.
Коли вони грали, Невада не мала закону проти передбачення гри за допомогою пристрою. Такий закон діє там з 1985 року, і тепер він є в більшості місць, де працюють казино.
Не там, де ставки закриваються в момент запуску кульки, як у лайв-студіях, а пронести такий пристрій до казино – злочин у більшості юрисдикцій.
Цікава математика
Спершу спробуйте розв’язати самі. Кожен розв’язок згорнуто; відкрийте його, коли будете готові.
Євдемони вважали, що їхній комп’ютер дає 44% на прямій ставціставкаПряма ставкаОдне число, виплата 35:1.Читати повністю → (straight up) на американському колесі, де ця ставка виплачується 35 до 1. Як часто має вигравати обране число, щоб це було правдою? І скільки з 38 комірокобладнанняКоміркаОдне з 37 пронумерованих відділень на роторі. Також: лунка, гніздо.Читати повністю → мало б виключати передбачення, якби кулькаобладнанняКулькаМаленька кулька, яку запускають доріжкою проти обертання ротора. Сучасні кульки роблять з іворину або тефлону, 18–21 мм.Читати повністю → з однаковою ймовірністю потрапляла в будь-яку з решти?
Показати розв’язок
Відповідь Раз на 25 спінів. Це те саме, що виключити 13 комірок і лишити 25.
Виграшна фішкагрошіФішкаЖетон, що позначає певну суму; його кладуть на ігрове поле, щоб зробити ставку. Також: check.Читати повністю → повертається ще з 35: разом 36 фішок. Якщо число виграє раз на n спінів, то n поставлених фішок повертають 36, тож ставка варта 36/n − 1.
Прирівняйте це до 0,44: 36/n = 1,44, отже, n = 25. Без передбачення n дорівнює 38, і ставка варта 36/38 − 1 = −5,26%.
Тепер припустімо, що передбачення виключає k комірок, а кулька з однаковою ймовірністю потрапляє в кожну з решти 38 − k. Фішка на одній із них виграє раз на 38 − k спінів. Для 44% потрібно 38 − k = 25, отже, k = 13: трохи більше ніж третина колеса.
У книжці наведено слова Фармера, що 40% виходить, якщо виключити вісім комірок. У цій простій моделі вісім дає 36/30 − 1 = 20%, тож справжня картина мала бути нерівномірною: деякі з решти комірок набагато ймовірніші за інші.
виключено коміроклишилося комірокчого варта пряма ставка038−5,26%2360%830+20%1325+44%1919+89%Припустімо, ваше число справді виграє раз на 25 спінів при 35 до 1, тобто перевага 44%. Ви ставите одну фішку на спін. Яка ймовірність, що після 100 спінів ви будете в програші? А після 500?
Показати розв’язок
Відповідь Близько 23% після 100 спінів і все ще близько 6% після 500.
Після 100 спінів ви поставили 100 фішок, а кожен виграш повертає 36. Два виграші повертають 72, тобто програш 28; три повертають 108, тобто виграш 8. Отже, ви в програші, якщо виграли двічі або менше.
Ймовірність жодного виграшу за 100 спінів дорівнює (24/25)¹⁰⁰ = 1,7%. Рівно один виграш: 100 × (1/25) × (24/25)⁹⁹ = 7,0%. Рівно два: 4 950 × (1/25)² × (24/25)⁹⁸ = 14,5%. Разом 23,2%.
Після 500 спінів, щоб бути в плюсі, потрібно 14 виграшів (14 × 36 = 504), а в середньому їх 20. Ймовірність 13 або менше становить близько 6,2%.
Це зворотний бік ставки з великою виплатою й малою ймовірністю. Перевага велика, і приблизно в одній серії зі 100 спінів із чотирьох вона не проявляється. Гравець, який не знає напевно, що перевага є, не може відрізнити невдалу серію від зламаного комп’ютера, а саме в такому становищі Євдемони часто й опинялися.
спінивиграшів треба, щоб бути в плюсіймовірність бути в програші50240,1%100323,2%200618,6%500146,2%У книжці сказано, що з перевагою 44% ставка $100, зроблена 50 разів на годину, має приносити $2 200 на годину. Перевірте це. Потім обчисліть, скільки та сама перевага приносила на ставках, якими група грала насправді: десять центів за спін.
Показати розв’язок
Відповідь $2 200 – правильно для $100 за спін. При десяти центах за спін це $2,20 на годину.
Перевага – це частка від усього поставленого. При $100 за спін і 50 спінах на годину поставлено $5 000, і 44% від цього – $2 200.
При 10 центах за спін за годину поставлено $5, і 44% від $5 – це $2,20. Навіть якщо накривати чотири числа по десять центів на кожне, виходить $8,80 на годину на двох.
Група грала на малих ставках, бо нарощувала банкролгрошіБанкролУся сума, відкладена на гру. Керування банкролом – це рішення про те, якою його часткою ризикувати в одній ставці та в одній сесії.Читати повністю → з нуля і бо, як показує попередня задача, перевага 44% при 35 до 1 може програвати годинами. Ціною цієї обережності було те, що метод міг працювати бездоганно й усе одно приносити менше, ніж звичайна робота.
Трохи гумору
Фізика спрацювала. Переміг неон.
Джерела
- Bass, T. A. The Eudaemonic Pie.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”
- Nevada Revised Statutes, розділ 465.