Задача: Колесо днів народження
Скільки спінів потрібно, щоб якесь число повторилося? Набагато менше, ніж гадає більшість.
Задача про дні народження на колесі з 37 коміркамиобладнанняКоміркаОдне з 37 пронумерованих відділень на роторі. Також: лунка, гніздо.Читати повністю →: уже після 8 спінів ймовірність того, що якесь число випало двічі, більша за половину. Гравці сприймають повтори за закономірності; насправді це очікувана поведінка чесного колеса.
Задача
Крутіть чесне європейське колесо. Скільки спінів потрібно, щоб ймовірністьматематикаЙмовірністьМіра можливості результату: від 0 до 1 або від 0% до 100%. Одне число: 1/37 = 2,70%.Читати повністю → того, що принаймні у двох спінах випало те саме число, перевищила одну другу? Більшість гравців припускає щось близько 18 чи 19, половину від 37. Відповідь – 8.
Розв’язання
Обчисліть ймовірність відсутності повтору й відніміть її від одиниці. Після k спінів p(усі різні) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Для k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, отже p(є повтор) ≈ 0,56. Для k = 14 це 0,93; для k = 20 – 0,996. Інтуїція підводить, бо кількість пар спінів зростає як k², а збігтися може будь-яка пара.
Чому це важливо за столом
Табло останніх 20 чисел майже завжди покаже принаймні один повтор, часто два чи три. Гравці бачать «17 випало двічі за десять спінів» і роблять висновок, що 17 гаряче; арифметика днів народження каже, що повтор упродовж десяти спінів трапляється в 74% випадків, а число, що повторилося, випадкове. Закономірність справжня; значення в ній немає.
Наступна задача
Скільки спінів потрібно, доки конкретне число, скажімо 17, випаде двічі? Це інше питання з набагато більшою відповіддю: очікувана кількість спінів – 74, а ймовірність двох 17 упродовж 20 спінів – близько 10%. Різниця між «якесь число повторюється» (8 спінів) і «це число повторюється» (74 спіни) – це вся різниця між закономірністю, яку ви помічаєте постфактум, і прогнозом, який ви робите заздалегідь.
Спробуйте
Зіграйте в демогру десять спінів і подивіться історію. Зазвичай буде повтор. Зіграйте ще раз. Число, що повторилося, буде іншим. Повторіть це десять разів – і ви побачили задачу про дні народженняматематикаЗадача про дні народженняСкільки потрібно людей, щоб у двох із них імовірно збігся день народження, або скільки спінів, щоб імовірно повторилося число. На колесі з 37 комірками 8 спінів досить, щоб ймовірність повтору перевищила половину.Читати повністю →; повторіть тисячу разів (симулятори це вміють) – і ви її виміряли.
Формула
Запитання
Точно те саме, лише з 37 комірками замість 365 днів. 23 людини дають 50% для днів народження; 8 спінів дають 56% для колеса.
50% приблизно після 19 спінів. Усе ще звичайна річ.
Ні. Вказали б тисячі спінів з одного колеса; повтор – ніколи.
Цікава математика
Спершу спробуйте розв’язати самі. Кожен розв’язок згорнуто; відкрийте його, коли будете готові.
Табло результатів біля американського колеса показує останні 16 спінів. Яка ймовірність, що жодне число на ньому не трапляється двічі?
Показати розв’язок
Відповідь Близько 2,5%: приблизно 39 табло із 40 показують хоча б один повтор.
Ідіть спін за спіном. Перший спін може бути будь-яким. Другий має його оминути: 37 шансів із 38. Третій має оминути обидва: 36 із 38. Шістнадцятий має оминути п’ятнадцять чисел: 23 із 38.
Перемножте: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Рідкісне якраз табло без повтору. Табло з повтором нічого не каже про колесо.
Яка ймовірність, що за десять спінів на європейському колесі 17 випаде рівно п’ять разів? Що якесь число, будь-яке, випаде п’ять разів або більше? І що якесь число випаде щонайменше тричі за чотири спіни?
Показати розв’язок
Відповідь 17 рівно п’ять разів: 1 із 315 576. Якесь число п’ять разів або більше: приблизно 1 із 8 333. Якесь число тричі або більше за чотири спіни: 1 із 349.
17 п’ять разів: оберіть, які п’ять спінів із десяти, – 252 способи, кожен з імовірністю (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Разом 1 із 315 576.
Якесь число: у кожного з 37 чисел імовірність п’яти й більше влучань – 1 із 308 325, що дає 37 із 308 325, або 1 із 8 333. Рідкісний випадок двох чисел по п’ять влучань пораховано двічі, але якщо його прибрати, за такої точності нічого не зміниться.
Тричі за чотири спіни: для одного числа 4 × 36 + 1 = 145 із 37⁴ можливих результатів; для будь-якого з 37 чисел 145/37³ = 1 із 349.
Wizard of Odds відповів на варіанти цих запитань для колеса з двома зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю →; наші цифри для такого колеса – 1 із 359 275, 1 із 9 243 і 1 із 368. Різниця між «17» і «якимось числом» – це знову задача про дні народженняматематикаЗадача про дні народженняСкільки потрібно людей, щоб у двох із них імовірно збігся день народження, або скільки спінів, щоб імовірно повторилося число. На колесі з 37 комірками 8 спінів досить, щоб ймовірність повтору перевищила половину.Читати повністю →: здивуватися можна 37 способами.
Трохи гумору
Щось повторюється рано. Це «щось» випадкове.
Джерела
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.