Д’Аламбер
Додайте одну одиницю після програшу, віднімайте одну після виграшу.
Колеса ця система не обіграє. Це найпласкіша з поширених прогресійстратегіяПрогресіяБудь-яке правило, яке змінює ставку залежно від попередніх результатів. Негативні прогресії підвищують її після програшів, позитивні – після виграшів.Читати повністю →: ставки повільно повзуть угору, просідання помірні, перевага казино лишається недоторканою.
Пройдіть системою
Програш зсуває на один крок угору. Виграш повертає на один крок назад.
Ставки й результати подано в одиницях базової ставки.
Як працює система Д’Аламбера?
Поставте одну одиницюгрошіОдиницяБазова ставка, якою оперує система або гравець. Прогресії описують в одиницях, щоб вони підходили для будь-якого столу.Читати повністю →. Програли – наступна ставка на одну одиницю більша. Виграли – на одну менша, але не нижче однієї. Оце й усе. Уявіть гойдалку-балансир: кожен програш хитає ставку на поділку вгору, кожен виграш – назад. В основі лежить віра, що виграші й програші зрівноважаться, тож ставка повернеться до базової. Принадність у тому, що кожна пара з одного виграшу й одного програшу на сусідніх ставках дає +1 одиницю: програли 3, виграли 4, разом +1.
Який вигляд має сесія?
Спокійно, зі ставкою, що повзе вгору. Оскільки програшів на рівні шанси більше, ніж виграшів (19 проти 18), на довгій сесії ставка дрейфує вгору. Ставка найвища, коли ви програвали, і нижча, коли вигравали, тож середня ставка під час програшних відрізків перевищує середню під час виграшних. Сесії плавніші, ніж у мартингейластратегіяМартингейлПрогресія, яка подвоює ставку після кожного програшу. Що вона робить і чого не робить, дивіться в розділі «Стратегії».Читати повністю →, просіданнягрошіПросіданняПадіння банкролу від піку до пізнішого мінімуму в межах сесії. Максимальне просідання – найбільше з таких падінь.Читати повністю → помірні й обриву немає, а в середньому програш трохи більший, ніж при грі фіксованою ставкоюстратегіяГра фіксованою ставкоюСтавити ту саму суму на кожному спіні. База, з якою порівнюють кожну прогресію.Читати повністю →, бо середня ставка вища.
- p10 −$500
- p25 −$500
- медіана −$500
- p75 −$500
- p90 −$500
Чи працює система Д’Аламбера?
Ні. Врівноважена сесія виграє, але сесії не лишаються врівноваженими. Після w виграшів і l програшів на сусідніх ставках підсумок становить w − l одиниць плюс поправка на те, де саме в драбинці ви були. Якщо w = l, результат – рівно +w одиниць, що схоже на гарантований прибуток. Підступ у тому, що w = l – не очікуваний випадок: за 37 спінів очікується 18 виграшів і 19 програшів. Один зайвий програш на ставці, що піднялася, скажімо, до 8 одиниць, коштує дорожче, ніж принесли вісім пар по +1. Математичне сподівання виходить −1/37 від загальної суми ставокгрошіСума ставокЗагальна сума, поставлена за сесію або період, разом із повторно поставленими виграшами. Також: handle, action.Читати повністю →, як і має бути.
Чому короткі сесії зазвичай виграють?
Збалансований випадок – частина одного правила, яке охоплює кожну сесію. Позначте через D кількість програшів мінус кількість виграшів. Сесія з N спінів, що починається з однієї одиниці, закінчується на (N − D²)/2 − D одиниць, якщо жодна ставка в одну одиницю не виграє (після такого виграшу ставці нікуди знижуватися). При D = 0 це +N/2, ті самі +w з розділу вище. Кожен зайвий програш рахується в квадраті: після 100 спінів при D = 4 ще лишається +38 одиниць, при D = 8 – +10, а при D = 10 – уже −10. Сама випадковість розкидає D приблизно на √N, тобто на десять після 100 спінів, і в грі без зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю → виграші багатьох збалансованих сесій і програші небагатьох перекошених точно компенсують одне одного. Зеро додає в середньому один зайвий програш кожні 37 спінів, а оскільки D підноситься до квадрата, його ціна зростає швидше, ніж сесія. Більшість сесій до 100 спінів закінчуються в плюсі; середнє – ніколи, а після кількох сотень спінів програє й більшість сесій.
А якщо її перевернути?
Контр-Д’Аламбер, який ще називають зворотним Д’Аламбером, додає одиницю після виграшу і знімає одну після програшу. Це точне дзеркальне відображення оригіналу. Поки жодна ставка в одну одиницю не програє, сесія з N спінів закінчується на (D² − N)/2 + D одиниць, де D тепер – кількість виграшів мінус кількість програшів. Збалансована сесія програє пів одиниці за спін, і лише виграші, що значно випереджають програші, дають прибуток. Тож більшість сесій програють трохи, а небагато виграють багато – протилежна до оригіналу форма, а в середньому програш той самий: 2,70% поставлених грошей.
Ким був д’Аламбер?
Жан Лерон д’Аламбер (Jean le Rond d’Alembert), математик і співредактор «Енциклопедії», стверджував у статті 1754 року, що після серії орлів імовірнішою стає решка. Він помилявся, а хибне судження, яке носить його ім’я, – різновид помилки гравця. Систему ставок назвали його ім’ям пізніше гравці, які поділяли це переконання. Він її не розробляв і навряд чи схвалив би.
Чи є інші версії?
Контр-Д’Аламбер, описаний вище, поводиться як м’яка система ПаролістратегіяПароліПозитивна прогресія: подвоєння після виграшу, скидання після програшу або після трьох виграшів поспіль. Також: зворотний мартингейл.Читати повністю →. Деякі гравці додають дві одиниці після програшу і віднімають одну після виграшу, через що драбинка стає крутішою і наближається до мартингейла. Усі версії мають однаковий очікуваний програшматематикаОчікуваний програшМатематичне сподівання, помножене на загальну суму ставок; середня сума, яку програють за сесію чи за певний період.Читати повністю → на одиницю поставленого.
Симулятор · Д’Аламбер
2 000 сесій ставок на рівні шанси з банкролом $1 000.
Базова ставка $10 · ліміт столу $500 · 100 спінів за сесію
Як часто трапляється серія програшів
Ставка на рівні шанси на колесі з одним зеро програє в 19 спінах із 37. Кожен рядок – це ймовірність того, що всі спіни такої серії будуть програшними, і сума, яку на той момент програв гравець за системою Д’Аламбера, що після кожного програшу підвищує ставку на одну базову.
| програшів поспіль | ймовірність | приблизно 1 із | уже програно | наступна ставка |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $3 |
| 3 | 13,5% | 7 | $6 | $4 |
| 4 | 7,0% | 14 | $10 | $5 |
| 5 | 3,6% | 28 | $15 | $6 |
| 6 | 1,8% | 55 | $21 | $7 |
| 7 | 0,94% | 106 | $28 | $8 |
| 8 | 0,48% | 207 | $36 | $9 |
| 9 | 0,25% | 403 | $45 | $10 |
| 10 | 0,13% | 784 | $55 | $11 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $66 | $12 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $78 | $13 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $91 | $14 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $105 | $15 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $120 | $16 |
Імовірність – це 19/37, помножене на себе один раз за кожен програш, і рахується вона від одного певного спіну. У довгій сесії багато спінів, з яких може початися така серія, тож за вечір вона набагато ймовірніша, ніж показує один рядок.
Запитання
Обриву в неї немає, тож це найм’якша з негативних прогресій. Дешевшою за гру фіксованою ставкою вона не є; вона трохи дорожча.
Лише ліміт столустілЛіміт столуДозволена мінімальна й максимальна ставка. Саме максимум зупиняє прогресії з подвоєнням.Читати повністю → або ваш банкролгрошіБанкролУся сума, відкладена на гру. Керування банкролом – це рішення про те, якою його часткою ризикувати в одній ставці та в одній сесії.Читати повністю →. За довгої програшної сесії вона зростає неухильно.
Цікава математика
Спершу спробуйте розв’язати самі. Кожен розв’язок згорнуто; відкрийте його, коли будете готові.
Ви граєте за системою Д’Аламбера на червонеставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю → 50 спінів, починаючи з однієї одиницігрошіОдиницяБазова ставка, якою оперує система або гравець. Прогресії описують в одиницях, щоб вони підходили для будь-якого столу.Читати повністю →, і жодного разу не виграєте ставку в одну одиницю (після такого виграшу ставці нікуди було б знижуватися). Ви закінчуєте з 27 програшами і 23 виграшами. Скільки одиниць у вас у плюсі чи в мінусі? А з 29 програшами і 21 виграшем?
Показати розв’язок
Відповідь +13 одиниць при 27 програшах, −15 одиниць при 29. Два спіни з п’ятдесяти, що пішли інакше, коштують 28 одиниць.
Позначте через D різницю між програшами й виграшами. Результат за N спінів дорівнює (N − D²)/2 − D. При 27 програшах і 23 виграшах D = 4: (50 − 16)/2 − 4 = 17 − 4 = +13. При 29 і 21 D = 8: (50 − 64)/2 − 8 = −7 − 8 = −15.
Чому правило виконується: ставка завжди дорівнює одній одиниці плюс програші досі мінус виграші досі. Кожен програш, який згодом скасовує виграш, утворює пару: програш s, а потім виграш s + 1, що разом дає +1 одиницю, як показує таблиця вище. За N спінів утворюється (N − D)/2 таких пар, вартих +(N − D)/2. D програшів, що лишилися, припали на ставки 1, 2 … D на шляху вгору і так і не були скасовані; вони коштують 1 + 2 + … + D = D(D + 1)/2. Разом: (N − D)/2 − D(D + 1)/2 = (N − D²)/2 − D.
Увесь секрет – у квадраті. Збалансована сесія дає пів одиниці за спін, а кожен крок від балансу коштує дорожче за попередній.
Ви граєте за зворотною системою Д’Аламбера на червоне 100 спінів, починаючи з однієї одиниці, і жодна ставка в одну одиницю ні разу не програє. Ви закінчуєте з 52 виграшами і 48 програшами. Який у вас результат? А з 60 виграшами і 40 програшами?
Показати розв’язок
Відповідь −38 одиниць при 52 виграшах, +170 при 60. Невелика перевага у виграшах однаково дає програш; платить лише велика.
Позначте через D різницю між виграшами й програшами. Результат за N спінів дорівнює (D² − N)/2 + D.
52 виграші і 48 програшів: D = 4, отже (16 − 100)/2 + 4 = −42 + 4 = −38.
60 виграшів і 40 програшів: D = 20, отже (400 − 100)/2 + 20 = 150 + 20 = +170.
Чому: кожен виграш, який згодом скасовує програш, утворює пару: виграш при ставці s, а потім програш при s + 1, що разом дає −1. D виграшів, що лишилися, припали на ставки 1, 2 … D на шляху вгору і ніколи не скасовуються; вони приносять D(D + 1)/2. За N спінів утворюється (N − D)/2 пар, тож разом D(D + 1)/2 − (N − D)/2 = (D² − N)/2 + D.
Це правило звичайного Д’Аламбера з оберненими знаками: там баланс приносить пів одиниці за спін, а дисбаланс карається; тут баланс коштує пів одиниці за спін, а дисбаланс винагороджується.
Трохи гумору
Названо на честь математика, який помилився з монетою.
Джерела
- d’Alembert, J. “Croix ou pile.”
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.