Фібоначчі
Ставки йдуть за рядом 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… Після програшу – на крок уперед, після виграшу – на два назад.
Колеса ця система не обіграє; цього не може жодна схема ставок. Вона м’якша за мартингейл, тож витримує довші серії програшів до досягнення ліміту, але відігрує повільніше. Очікуваний програш той самий: 2,70% суми ставокгрошіСума ставокЗагальна сума, поставлена за сесію або період, разом із повторно поставленими виграшами. Також: handle, action.Читати повністю →.
Як будується послідовність
Кожне число дорівнює сумі двох попередніх.
Отже, після 8 і 13 йде 21.
Намалюйте кожне число як квадрат, і квадрати складуться разом: кожен новий завдовжки як два попередні, поставлені поруч. Чверть кола в кожному квадраті, і дуги з’єднуються у спіраль.
Пройдіть послідовністю
Програш зсуває на один крок праворуч. Виграш повертає на два кроки назад.
Ставки й результати подано в одиницях базової ставки.
Як працює система Фібоначчі?
Випишіть числа ФібоначчістратегіяФібоначчіПрогресія за послідовністю 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: один крок уперед після програшу, два кроки назад після виграшу.Читати повністю →: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Кожне є сумою двох попередніх. Почніть із першого й поставте стільки одиницьгрошіОдиницяБазова ставка, якою оперує система або гравець. Прогресії описують в одиницях, щоб вони підходили для будь-якого столу.Читати повністю →. Програли – посуньтеся на один крок праворуч. Виграли – на два кроки ліворуч або на початок, якщо місця немає. Оце й уся система. Таблиця показує, скільки коштує кожен крок: серія програшів, обірвана лімітом столустілЛіміт столуДозволена мінімальна й максимальна ставка. Саме максимум зупиняє прогресії з подвоєнням.Читати повністю → або вашим банкроломгрошіБанкролУся сума, відкладена на гру. Керування банкролом – це рішення про те, якою його часткою ризикувати в одній ставці та в одній сесії.Читати повністю →, програє суму всього поставленого дотепер.
Який вигляд має сесія?
Візьмімо базу $10 і вісім спінів: П П В П П П В В. Ставки йдуть так: 10, 10, 20 (виграш, назад на два, на крок 1), 10, 10, 20, 30 (виграш, назад на два, на крок 2), 10 (виграш, назад на початок). Програно: 10 + 10 + 10 + 10 + 20 = 60. Виграно: 20 + 30 + 10 = 60. П’ять програшів, три виграші, і ви в нулі. У цьому принадність системи. Ціна стоїть у тому самому рядку: щоб туди дійти, знадобилося ставок на $120, а кожен поставлений долар несе перевагу казиноматематикаПеревага казиноЧастка кожної ставки, яку казино в середньому залишає собі: 2,70% у європейській рулетці.Читати повністю →.
Чому назад на два кроки, а не на один?
Тому що один виграш оплачує рівно два програші. Кожне число є сумою двох попередніх, тож виграш на 5 одиницях повертає 2 і 3, програні щойно перед тим. Уявіть сходи: одна сходинка вгору за кожен програш, дві сходинки вниз за кожен виграш. Сходинка, на якій ви стоїте, – це ваш борг. На сходинці 5 ви в мінусі на 7 одиниць, на сходинці 8 – на 33, а знову на першій сходинці ви рівно в нулі. Прибуток дають лише виграші на першій сходинці, по одній одиниці.
Коли виграшів майже стільки, скільки програшів, дві сходинки за одну звучать як вигідна угода, і здебільшого сходи справді ведуть назад униз. Підступ у тому, що з висотою сходинки стають вищими. Десять виграшів на першій сходинці приносять 10 одиниць. Три програші на сходинках 6, 7 і 8 коштують 8 + 13 + 21 = 42.
- p10 −$500
- p25 −$500
- медіана −$500
- p75 +$250
- p90 +$920
Чи працює система Фібоначчі?
Ні. Не як спосіб вийти в плюс. Розрахунок той самий, що й для кожної системи: кожна ставка в середньому втрачає 1/37 своєї суми, тож уся послідовність втрачає 1/37 усього поставленого. Знаменита послідовність цього не змінює, бо колесо платить за тими самими коефіцієнтами, хоч якого розміру фішкагрошіФішкаЖетон, що позначає певну суму; його кладуть на ігрове поле, щоб зробити ставку. Також: check.Читати повністю →. Ставки Фібоначчі дрейфують угору, тож за спін ця система ставить більше, ніж гра фіксованою ставкоюстратегіяГра фіксованою ставкоюСтавити ту саму суму на кожному спіні. База, з якою порівнюють кожну прогресію.Читати повністю →, і її очікуваний програшматематикаОчікуваний програшМатематичне сподівання, помножене на загальну суму ставок; середня сума, яку програють за сесію чи за певний період.Читати повністю → за сесію вищий. МартингейлстратегіяМартингейлПрогресія, яка подвоює ставку після кожного програшу. Що вона робить і чого не робить, дивіться в розділі «Стратегії».Читати повністю → ставить іще більше й програє більше.
Чи безпечніша вона за мартингейл?
Вона повільніша, а це не те саме. Ставки Фібоначчі зростають приблизно в 1,6× за крок замість 2×, тож ліміт $500 досягається приблизно після десяти програшів поспіль від бази $10, а не після шести. Через це обрив трапляється рідше: десять програшів поспіль на рівних шансах – це (19/37)¹⁰ ≈ 0,13% проти (19/37)⁶ ≈ 1,8% для шести. Але й обрив вищий, бо дорогою поставлено більше, а один виграш його не скасовує.
Звідки взялися ці числа?
Із задачі про кролів. Леонардо Пізанський (Leonardo of Pisa), якого згодом прозвали Фібоначчі, виклав її у своїй «Liber Abaci» 1202 року: почніть з однієї пари, нехай кожна пара з другого місяця життя щомісяця народжує нову пару, і порахуйте пари. Відповідь іде так: 1, 2, 3, 5, 8, 13. Він не перший знайшов це правило. Індійські дослідники віршового ритму записали його раніше: Сінгх (Singh, 1985) простежує його до Віраханки (Virahanka), між 600 і 800 роками, а далі до Гопали (Gopala) й Гемачандри (Hemachandra).
Ніхто з них не думав про колесо. Джерела, використані тут, не кажуть, хто першим поставив гроші за цією послідовністю. Натомість вони показують, що її арифметика й арифметика рулетки ніде не перетинаються: одна каже, як ростуть ставки, друга – що повертає кожна ставка.
Скільки програється після серії програшів?
Дві тотожності дають змогу легко перевірити таблицю вище. Після n програшів поспіль загальний програш дорівнює (n + 2)-му числу Фібоначчі мінус 1, що дає 1, 2, 4, 7, 12, 20 і так далі, а наступна ставка дорівнює (n + 1)-му числу Фібоначчі. Боллман (Bollman, 2021) доводить той самий результат індукцією для послідовності, що починається з 1, 2, 3, яка зсуває кожне число на одну позицію. За ліміту 500 одиниць і старту з 1 одиниці мартингейл не може зробити свою 10-ту ставку, 512 одиниць. Фібоначчі може зробити 14-ту, 377 одиниць, але не 15-ту, 610.
Що змінюється на дюжині чи колонці?
На дюжиніставкаДюжина1–12, 13–24 або 25–36, виплата 2:1.Читати повністю → чи колонціставкаКолонкаДванадцять чисел в одній вертикальній колонці ігрового поля, виплата 2:1.Читати повністю →, які виплачують 2 до 1, крок назад не потрібен. Виграш при ставці F виплачує 2F, а це завжди більше за все, що програно до того, тож кожен виграш завершує послідовність у плюсі. Ціна в тому, що дюжина виграє лише 12 разів із 37, тож довгі серії програшів трапляються набагато частіше: чотирнадцять програшів дюжини поспіль трапляються приблизно раз на 242 спроби, проти приблизно разу на 11 000 для червоногоставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю →.
А якщо зупинятися лише після двох виграшів поспіль?
Інший варіант просувається на крок уперед після кожного спіну, виграшного чи програшного, і зупиняється лише після двох виграшів поспіль. Якщо до двох виграшів було n програшів, прибуток дорівнює (n + 1)-му числу Фібоначчі плюс 1: малий, коли виграші приходять рано, більший, коли пізно, і здобутий на ставках, що відповідно зросли. Рання пара виграшів завжди припадає на малі ставки; пізня може вимагати великої ставки саме тоді, коли сесія пішла найгірше.
Симулятор · Фібоначчі
2 000 сесій ставок на рівні шанси з банкролом $1 000.
Базова ставка $10 · ліміт столу $500 · 100 спінів за сесію
Як часто трапляється серія програшів
Ставка на рівні шанси на колесі з одним зеро програє в 19 спінах із 37. Кожен рядок – це ймовірність того, що всі спіни такої серії будуть програшними, і сума, яку на той момент програв гравець за системою Фібоначчі, що після кожного програшу зсувається на один крок послідовністю.
| програшів поспіль | ймовірність | приблизно 1 із | уже програно | наступна ставка |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $1 |
| 2 | 26,4% | 4 | $2 | $2 |
| 3 | 13,5% | 7 | $4 | $3 |
| 4 | 7,0% | 14 | $7 | $5 |
| 5 | 3,6% | 28 | $12 | $8 |
| 6 | 1,8% | 55 | $20 | $13 |
| 7 | 0,94% | 106 | $33 | $21 |
| 8 | 0,48% | 207 | $54 | $34 |
| 9 | 0,25% | 403 | $88 | $55 |
| 10 | 0,13% | 784 | $143 | $89 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $232 | $144 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $376 | $233 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $609 | $377 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $986 | $610 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $1 596 | $987 |
Імовірність – це 19/37, помножене на себе один раз за кожен програш, і рахується вона від одного певного спіну. У довгій сесії багато спінів, з яких може початися така серія, тож за вечір вона набагато ймовірніша, ніж показує один рядок.
Запитання
Так: уперед після виграшу, назад після програшу. Він поводиться як повільніша система ПаролістратегіяПароліПозитивна прогресія: подвоєння після виграшу, скидання після програшу або після трьох виграшів поспіль. Також: зворотний мартингейл.Читати повністю →.
Цікава математика
Спершу спробуйте розв’язати самі. Кожен розв’язок згорнуто; відкрийте його, коли будете готові.
Грайте варіант, який після кожного спіну, виграшного чи програшного, просувається на один крок послідовністю і зупиняється після двох виграшів поспіль: ставки 1, 1, 2, 3, 5, 8 і так далі. Перші чотирнадцять результатів: В П В П П П В П П П В П П В. Де ви зараз і яка наступна ставка?
Показати розв’язок
Відповідь Мінус 22 одиницігрошіОдиницяБазова ставка, якою оперує система або гравець. Прогресії описують в одиницях, щоб вони підходили для будь-якого столу.Читати повністю →. Наступна ставка – 610 одиниць, і виграш завершив би сесію з плюсом 588.
Ставки – це перші чотирнадцять чисел ФібоначчістратегіяФібоначчіПрогресія за послідовністю 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: один крок уперед після програшу, два кроки назад після виграшу.Читати повністю →: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 і 377. Додайте виграші й відніміть програші: +1 −1 +2 −3 −5 −8 +13 −21 −34 −55 +89 −144 −233 +377 = −22.
Останній результат – виграш, тож ще один виграш завершує сесію. Наступна ставка – 610: виграш дає +588, програш – −632 і наступну ставку 987.
Цей варіант завжди закінчується в плюсі, але тут для цього потрібна ставка в 610 одиниць. За звичайними правилами, два кроки назад після виграшу, ті самі чотирнадцять результатів залишають вас лише на 1 одиницю в мінусі з наступною ставкою 2. Боллман (Bollman, 2021), який починає послідовність з 1, 2, 3, отримує мінус 1 одиницю і наступну ставку 3. Звичайні правила тут програють менше, бо кожен виграш знову знижує ставки.
спінставкарезультатпоточний підсумок11В+121П032В+243П−155П−668П−14713В−1821П−22934П−561055П−1111189В−2212144П−16613233П−39914377В−22Чому в тому самому варіанті n програшів, за якими йдуть два виграші, завжди дають прибуток, що дорівнює (n + 1)-му числу Фібоначчі плюс 1?
Показати розв’язок
Відповідь n програшів у сумі дають (n + 2)-ге число Фібоначчі мінус 1, а два виграші – це два наступні числа, які разом перевищують цю суму на (n + 1)-ше число плюс 1.
Позначмо F₁, F₂, F₃ … числа 1, 1, 2, 3, 5 … Кожне число – сума двох попередніх.
Програші: F₁ + F₂ + … + Fₙ. Додайте до цієї суми 1, записану як F₂, і сума згортається: F₂ + F₁ = F₃, потім F₃ + F₂ = F₄ і так далі, доки вся сума не стане Fₙ₊₂. Отже, програші разом дають Fₙ₊₂ − 1.
Виграші – це дві наступні ставки, Fₙ₊₁ і Fₙ₊₂. Прибуток: Fₙ₊₁ + Fₙ₊₂ − (Fₙ₊₂ − 1) = Fₙ₊₁ + 1. При чотирьох програшах це F₅ + 1 = 6 одиниць.
Трохи гумору
Золотий переріз зустрічає табличку з максимальною ставкою.
Джерела
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Sigler, L. E. Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation.
- Singh, P. The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India.