Стандартне відхилення
Квадратний корінь із дисперсіїматематикаДисперсіяМіра того, як широко результати розкидані довкола математичного сподівання. Висока в прямої ставки, низька у ставок на рівні шанси.Читати повністю →: типова відстань між результатом і його сподіванням.
На $1 ставки σ становить 5,84 для прямої ставки і 1,00 для червоного. Помножте на ставку й на квадратний корінь із кількості спінів, щоб отримати значення для сесії.
Практичне правило
Близько двох третин сесій потрапляють у межі однієї σ від сподівання, а 95% – у межі двох. Для 100 спінів на червонеставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю → по $10 (очікувано −$27, σ = $100) більшість сесій припадає на діапазон від −$127 до +$73, а майже всі – від −$227 до +$173. Результат поза цим діапазоном не є свідченням ні про що, окрім того, що одна сесія з двадцяти так і виходить.
Чому √N
Очікуваний програшматематикаОчікуваний програшМатематичне сподівання, помножене на загальну суму ставок; середня сума, яку програють за сесію чи за певний період.Читати повністю → зростає пропорційно до N; розкид – пропорційно до √N. При малих N переважає розкид, і сесії – це підкидання монети з легким нахилом. При великих N програш випереджає розкид. Перехід, де очікуваний програш дорівнює одному стандартному відхиленнюматематикаСтандартне відхиленняКвадратний корінь із дисперсії; типова відстань результату від математичного сподівання.Читати повністю →, припадає на N = (σ/перевага)² = (1/0,027)² ≈ 1 370 спінів для рівних шансів і (5,84/0,027)² ≈ 46 800 для прямих ставокставкаПряма ставкаОдне число, виплата 35:1.Читати повністю →. Нижче цих чисел вирішує везіння; вище – перевага казино.
Як цим користуватися
Щоб судити, чи була сесія незвичною, обчисліть (результат − EV)/σ. Гравець на червоне по $10, який завершив 100 спінів на +$150, перебуває на (150 + 27)/100 = 1,77σ – це результат раз із 25: пощастило, але нічого видатного. Гравець із прямими ставками з тим самим +$150 перебуває на 0,3σ: звичайна ніч. Той самий результат у доларах означає різне на різних ставках.
Стандартна похибка частки
Та сама арифметика підказує, скільки спінів потрібно, щоб побачити перевагу казино в даних. Стандартна похибка спостережуваної частки виграшів – √(p(1 − p)/N). Для червоного при N = 1 000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. Різниця між чесною монетою і червоним – 1,35%, тож після 1 000 спінів ви все ще не можете впевнено відрізнити їх. Після 10 000 стандартна похибка – 0,5%, і можете. Саме тому виявлення перекосу колеса потребує так багато спінів.
Застереження щодо скошеності
Результати прямих ставок у короткій сесії далекі від нормального розподілу: більшість сесій – це стабільні −$10 за спін з випадковими стрибками +$350. Правило ±1σ правильно описує розкид, але погано – форму, доки N не сягне сотень. Для ставок на рівні шансиставкаСтавка на рівні шансиЧервоне/чорне, непарне/парне, велике/мале. 18 чисел, виплата 1:1.Читати повністю → нормальне наближення добре приблизно від 30 спінів.
Формула
Запитання
Це доводить, що ви зіграли близько 40 сесій, або що вам трапилася та щаслива сесія з сорока. Повторіть її.
Воно коливається дедалі менше: стандартна похибка середнього – σ/√N. При N = 10 000 вона становить 1% ставки.
Цікава математика
Спершу спробуйте розв’язати самі. Кожен розв’язок згорнуто; відкрийте його, коли будете готові.
За 100 спінів на європейському колесі одна одиницягрошіОдиницяБазова ставка, якою оперує система або гравець. Прогресії описують в одиницях, щоб вони підходили для будь-якого столу.Читати повністю → на червонеставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю → опиняється в плюсі, якщо виграє щонайменше 51 раз, а одна одиниця на прямій ставціставкаПряма ставкаОдне число, виплата 35:1.Читати повністю → – якщо її число випадає щонайменше 3 рази. Оцініть обидві ймовірності за дзвоноподібною кривою, а тоді порівняйте їх із точними відповідями.
Показати розв’язок
Відповідь Червоне: дзвоноподібна крива дає 35,6%, точна відповідь – 35,5%. Пряма ставка: крива дає 55,0%, точна відповідь – 50,9%. Для червоного це наближення працює, для одного числа – промахується.
Червоне: у середньому 100 × 18/37 = 48,6 виграшу з розкидом √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. «У плюсі» означає 51 або більше; середина, 50,5, лежить на 0,37 розкиду вище за середнє, і дзвоноподібна крива дає вище за цю позначку 35,6%. Сума точних імовірностей 51, 52 … 100 виграшів – 35,5%.
Пряма ставка: у середньому 100/37 = 2,70 влучання з розкидом √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Три влучання або більше – це понад 2,5, на 0,12 розкиду нижче за середнє: 55,0% за кривою. Точно – це 1 мінус імовірності 0, 1 і 2 влучань, 6,5% + 17,9% + 24,7%, і лишається 50,9%.
Дзвоноподібній кривій потрібно багато результатів з обох боків від середнього. У червоного за 100 спінів вони є; у числа, яке в середньому випадає менше ніж тричі, – немає. Крива навіть відводить 8,7% на «жодного влучання», а справжня ймовірність – 6,5%. Тейлор (Taylor, 2021) так само ставить поруч біноміальний розподіл і дзвоноподібну криву.
Трохи гумору
Одна сесія з двадцяти поза двома сигмами. Хтось завжди в хвості.
Джерела
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.