Помилка гравця
Переконання, що результату «час випасти», бо він давно не з’являвся.
Після десяти червоних ймовірність чорного все одно 18/37. Колесо не веде обліку і нічого не винне.
Помилка
Якщо червонеставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю → випало десять разів, багатьом гравцям здається, що чорномуставкаЧорнеСтавка на рівні шанси на 18 чорних чисел. Французькою: noir.Читати повністю → «час випасти», і вони ставлять відповідно. Інші вважають, що червоне «гаряче», і ставлять на нього. І ті, й інші роблять висновок із послідовності, яка вже закінчилася, про спін, якого ще не було. КулькаобладнанняКулькаМаленька кулька, яку запускають доріжкою проти обертання ротора. Сучасні кульки роблять з іворину або тефлону, 18–21 мм.Читати повністю → не знає, якими були останні десять спінів; коміркиобладнанняКоміркаОдне з 37 пронумерованих відділень на роторі. Також: лунка, гніздо.Читати повністю → такого самого розміру, як година тому; ймовірністьматематикаЙмовірністьМіра можливості результату: від 0 до 1 або від 0% до 100%. Одне число: 1/37 = 2,70%.Читати повністю → чорного – 18/37, як і завжди.
Чому це здається правдою
На довгій дистанції частки червоного й чорного справді збігаються до 18/37 кожна. Це гарантує закон великих чиселматематикаЗакон великих чиселСереднє незалежних результатів збігається до математичного сподівання, коли кількість випробувань зростає.Читати повністю →. Але збіжність відбувається через розведення, а не через виправлення: після ще 1 000 спінів десять зайвих червоних – це похибка округлення в частці, і не тому, що чорне наздогнало, а тому, що вибірка зросла. Жодного механізму, який робить чорне ймовірнішим, не існує, і закон великих чисел його не потребує.
Монте-Карло, 18 серпня 1913
Чорне випало 26 разів поспіль за одним зі столів у Casino de Monte-Carlo. Приблизно з п’ятнадцятого чорного гравці кинулися на червоне, подвоюючи й подвоюючи знову, і кожен спін здавався «певнішим» за попередній. Казино виграло мільйони франків. Така серія мала ймовірність 1 із 137 мільйонів, рахуючи від першого чорного, а ймовірність того, що вона колись трапиться десь у казино світу, була практично рівна одиниці. Саме тому помилку гравця називають також помилкою Монте-Карло.
Нічого незвичайного. Трапляється один раз із 44.
Гравці починають помічати. Червоному «час випасти».
Стіл переповнений. Ставки на червоне подвоюють після кожного програшу.
Статки втрачено. Кожне нове чорне робить червоне ще певнішим.
Серія закінчується. Казино виграло мільйони франків у людей, які ставили проти серії, що не могла «знати», що вона серія.
«Гаряча рука»
Ставити на колір, бо він іде серією, – та сама помилка навпаки: від серії чекають, що вона триватиме, а не що обірветься. Психологи називають це «гарячою рукоюміф«Гаряча рука»Переконання, що серія виграшів або одного результату робить ще один такий самий ймовірнішим. За колесом це помилка гравця навпаки.Читати повністю →» – за дослідженням 1985 року, у якому Гілович, Валлоне і Тверскі (Gilovich, Vallone, Tversky) шукали серії влучань у баскетбольних кидках і не знайшли нічого понад випадковість. У 2018 році Міллер і Санхурхо (Miller, Sanjurjo) показали, що сам тест був зміщений: у короткому записі частка влучань одразу після влучання в середньому виходить нижчою за загальну влучність гравця, тож гравець зовсім без «гарячої руки» здається трохи «холодним». Після виправлення ті самі дані показують помірну «гарячу руку». Людина може розігратися; колесо не має форми, у яку могло б увійти. Деякі гравці тримаються обох переконань водночас: серія триває, доки не стане «задовгою», а тоді обривається. На чесному колесі кожна версія має таке саме математичне сподіванняматематикаМатематичне сподіванняСередній результат однієї ставки на довгій дистанції. Для кожної стандартної європейської ставки це −1/37 ставки.Читати повністю →, як вибір кольору підкиданням монети: −2,70% від ставки.
За справжнім столом
Кросон і Сундалі (Croson, Sundali, 2005) переглянули 18 годин записів камер спостереження з одного столу з двома зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю → у великому казино в Ріно: 139 гравців, 24 131 ставка. На ставках на рівні шансиставкаСтавка на рівні шансиЧервоне/чорне, непарне/парне, велике/мале. 18 чисел, виплата 1:1.Читати повністю → гравці розділилися приблизно порівну між тими, хто йшов за короткими серіями, і тими, хто ставив проти них. Після п’яти однакових результатів поспіль вони схилялися ставити проти серії, а після шести й більше 85% їхніх ставок були на протилежний результат. Ті самі гравці вірили в «гарячу руку» щодо самих себе: після виграшу на числах вони наступного спіну покривали в середньому 13,6 числа, а після програшу – 9,2. Їхнє колесо не показувало жодних ознак перекосу, тож ніщо з цього не змінювало того, на що будь-хто з них міг розраховувати.
Поза казино
Та сама схильність виявляється там, де ухвалюють справжні рішення. Клотфелтер і Кук (Clotfelter, Cook, 1993) стежили за щоденною числовою лотереєю штату Меріленд: сума ставок на число різко падала, щойно його витягали, і відновлювалася місяцями, хоча тираж не має пам’яті. Чен, Московіц і Шу (Chen, Moskowitz, Shue, 2016) знайшли її в професіоналів. Ймовірність відмови в судді США у справах про притулок була до 3,3 процентного пункту вищою, якщо попередню справу він задовольнив. Бейсбольні арбітри оголошували страйк на 1,5 пункту рідше, якщо щойно оголосили страйк, а на спірних подачах – більш ніж удвічі рідше. У польовому експерименті з кредитними експертами, яким платили фіксовану винагороду, так змінювалося до 9% рішень. Справи надходили у випадковому порядку, тож останнє рішення нічого не говорило про наступне, так само як останній спін нічого не говорить про наступний.
Зворотна помилка гравця
Філософ Ян Гакінг (Ian Hacking, 1987) дав назву третій версії. Хтось заходить до кімнати, бачить, як пара кубиків падає двома шістками, і робить висновок, що їх, мабуть, кидали вже багато разів. Кожен кидок з однаковою ймовірністю дає дві шістки, чи то перший за вечір, чи тисячний, тож побачене нічого не говорить про те, як довго триває гра. У рулетці це гравець, який підходить до табло з вісьмома червоними і вирішує, що стіл, мабуть, крутився годинами, щоб їх видати. Звичайна помилка переносить минуле на наступний спін; ця – вчитує в рідкісне видовище минуле, якого ніхто не бачив.
Психолог, який у це вірив
Ця хиба мала й учених захисників. Німецький психолог Карл Марбе (Karl Marbe) переглянув чотири реєстри по 49 152 народження в кожному, виявив, що найдовша серія хлопчиків або дівчаток поспіль становила 17, і дійшов висновку, що довгі серії трапляються рідше, ніж дозволяє випадковість, тож серія робить інший результат ймовірнішим. Сама випадковість каже інше: серед 196 608 народжень серія з 17 чи більше трапляється приблизно чотири рази з п’яти. Марбе знайшов саме те, як виглядає випадкова послідовність. Цей випадок переказує Епштейн (Epstein, 2013); рулеткову версію наведено на сторінці «Ймовірність серій».
Де помилка не діє
Якби колесо мало фізичний перекіс, минулі спіни були б інформативними, бо свідчили б про комірки, а не про везіння. Це тема Лабораторії, і щоб щось сказати, потрібні тисячі спінів з одного визначеного колеса. Для серії з десяти червоних на невідомому колесі пояснення перекосом набагато менш імовірне, ніж випадковість.
Запитання
Ні. Вона стосується будь-якої незалежної повторюваної події: кубиків, монет, лотерейних чисел.
Частки наблизяться. Ваш результат усе одно становитиме близько −2,70% від суми ваших ставок.
Закону середніх не існує. Існує закон великих чисел, і він діє через розведення.
Цікава математика
Спершу спробуйте розв’язати самі. Кожен розв’язок згорнуто; відкрийте його, коли будете готові.
Після 10 підкидань монета дала 7 орлів і 3 решки. Після 1 000 підкидань – 517 орлів і 483 решки. Чи наздогнали решки?
Показати розв’язок
Відповідь Ні. Розрив зріс із 4 до 34. Ближчим до рівного стало лише співвідношення.
Співвідношення орлів і решок упало із 7/3, тобто приблизно 2,33, до 517/483, приблизно 1,07. Це працює закон великих чиселматематикаЗакон великих чиселСереднє незалежних результатів збігається до математичного сподівання, коли кількість випробувань зростає.Читати повністю →.
Розрив між ними зріс – із 4 до 34. Для чесної монети розрив близько 30 після 1 000 підкидань – звичайна річ: типовий розрив росте приблизно як квадратний корінь із кількості підкидань, тоді як співвідношення наближається до 1.
Ніщо не тягнуло решки назад. Початковий надлишок орлів розчинився в наступних 990 підкиданнях, а не виправився.
Підкиньте монету чотири рази й подивіться лише на ті підкидання, що йдуть одразу після орла. Яка їх частка – орли? Обчисліть її для кожної з 16 можливих послідовностей і візьміть середнє цих часток. Чи дорівнює воно 50%?
Показати розв’язок
Відповідь Ні. Воно дорівнює 17/42, близько 40,5%. Якщо дивитися так, чесна монета ніби «холоне» після орла.
Випишіть 16 послідовностей (H – орел, T – решка). У двох із них, TTTT і TTTH, серед перших трьох підкидань немає орла, тож після орла нічого не йде; залишається 14.
У кожній візьміть підкидання, що йдуть після орла, і знайдіть, яка їх частка – орли. HHHH дає 3 із 3. HHHT дає 2 із 3. HTHT дає 0 із 2. Якщо пройти всі 14: шість послідовностей дають 0, чотири дають 1/2, одна дає 2/3 і три дають 1 (HHHH, THHH і TTHH).
Додайте частки: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Поділіть на 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Жодне підкидання не віддає переваги решці; кожне – 50 на 50. Зсув виникає через усереднення по послідовностях: послідовність, повна орлів, дає багато підкидань для перевірки, але рахується один раз, так само як послідовність лише з одним таким підкиданням. Міллер і Санхурхо (Miller, Sanjurjo, 2018) показали, що дослідження «гарячої руки» 1985 року вимірювало своїх баскетболістів саме так, тож гравці, які здавалися не більш схильними до серій, ніж велить випадковість, насправді були дещо схильнішими.
Трохи гумору
Розведення, а не виправлення. Колесо нічого не винне.
Джерела
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”