Перевага казино
Частка кожної ставки, яку казино в середньому залишає собі.
Європейська рулетка: 2,70% на кожній стандартній ставці, бо виплати розраховано так, ніби комірок 36, а їх 37.
Виведення
Справедливі шанси для прямої ставкиставкаПряма ставкаОдне число, виплата 35:1.Читати повністю → були б 36 до 1, бо на кожен спосіб виграти припадає 36 способів програти. Казино виплачує 35 до 1. Відсутня одиницягрошіОдиницяБазова ставка, якою оперує система або гравець. Прогресії описують в одиницях, щоб вони підходили для будь-якого столу.Читати повністю →, розподілена на 37 однаково ймовірних результатів, – це 1/37 = 2,70% ставки за спін. Такий самий недобір є в кожній виплатігрошіВиплатаТе, що приносить виграшна ставка; записується як «X до 1» понад повернену ставку.Читати повністю →, бо кожна виплата підпорядковується правилу 36/n − 1: сплітставкаСплітДва сусідні числа, виплата 17:1.Читати повністю → платить 17 замість 17,5, дюжинаставкаДюжина1–12, 13–24 або 25–36, виплата 2:1.Читати повністю → – 2 замість 2,083, червонеставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю → – 1 замість 1,056. Розрив завжди дорівнює 1/n одиниці на виграш, а виграшів n/37 на спін, тож завжди 1/37 на спін.
Перевага і холд
Перевага – це очікуваний програшматематикаОчікуваний програшМатематичне сподівання, помножене на загальну суму ставок; середня сума, яку програють за сесію чи за певний період.Читати повністю → на одиницю ставок: 2,70% за спін. ХолдгрошіХолдЧастка грошей, принесених гравцями до столу, яку казино фактично залишає собі. Вища за перевагу казино, бо виграші ставлять знову.Читати повністю → – це те, що казино насправді залишає собі з грошей, які ви принесли до столу, і він набагато вищий, бо ви ставите виграш знову. Купівля фішокстілКупівля фішок (buy-in)Обмін готівки на фішки за столом. Відбувається між спінами, а готівку кладуть на ігрове поле, а не передають дилерові в руки.Читати повністю → на $100, яку ставлять по $10 за 200 спінів, дає $2 000 суми ставок і близько $54 переваги; холд на цю купівлю фішок становить 54%. Казино звітують за холдом; гравцям варто мислити перевагою.
Чому в кожної ставки однакова перевага
Це рішення на етапі задуму, а не збіг. Правило 36/n − 1 закріпилося у XVIII столітті, а подвійне зерорізновидПодвійне зероКомірка 00 американського колеса. Через неї перевага казино зростає з 2,70% до 5,26%.Читати повністю → прибрали пізніше, не змінюючи виплат. Якби виплати були справедливі для 37 комірокобладнанняКоміркаОдне з 37 пронумерованих відділень на роторі. Також: лунка, гніздо.Читати повністю →, пряма ставка платила б 36 до 1, і казино не мало б доходу. Однакова перевага зручна: жодна ставка в рулетці не є «ставкою для простаків» порівняно з іншою, за єдиним винятком американської ставки на п’ять чисел із 7,89%.
Чим перевага не є
Це не ймовірністьматематикаЙмовірністьМіра можливості результату: від 0 до 1 або від 0% до 100%. Одне число: 1/37 = 2,70%.Читати повністю → програти сесію; більшість коротких сесій вирішує дисперсіяматематикаДисперсіяМіра того, як широко результати розкидані довкола математичного сподівання. Висока в прямої ставки, низька у ставок на рівні шанси.Читати повністю →, і близько 42% сесій по 100 спінів зі ставками на рівні шанси закінчуються у плюсі. Це не плата за сесію; вона зростає разом із сумою ставокгрошіСума ставокЗагальна сума, поставлена за сесію або період, разом із повторно поставленими виграшами. Також: handle, action.Читати повністю →, тому прогресіястратегіяПрогресіяБудь-яке правило, яке змінює ставку залежно від попередніх результатів. Негативні прогресії підвищують її після програшів, позитивні – після виграшів.Читати повністю →, що ставить більше, платить більше. І це не те, що можна розбавити візерунком ставок, бо переваги одночасних ставок додаються пропорційно до їхніх сум.
У грошах
На кожні $1 000 ставок очікуваний програш становить $27,03 в європейській рулетцірізновидЄвропейська рулеткаКолесо з одним зеро, 37 комірок, перевага казино 2,70%. Основна модель на цьому сайті.Читати повністю →, $52,63 в американській, $13,51 на ставках на рівні шансиставкаСтавка на рівні шансиЧервоне/чорне, непарне/парне, велике/мале. 18 чисел, виплата 1:1.Читати повністю → з la partageправилоLa partageФранцузьке правило: коли випадає зеро, половина ставки на рівні шанси повертається. Удвічі зменшує перевагу казино на цих ставках – до 1,35%.Читати повністю →. Постійний гравець, який ставить $500 за вечір двічі на тиждень протягом року, ставить загалом $52 000 і платить близько $1 400 переваги на європейському колесі. Це небагато за спін і невблаганно за рік.
На спін чи на завершену ставку
Майже кожна ставка в рулетці розраховується за один спін, тож її перевага на спін і перевага на ставку – одне й те саме число. Ставка, яка може закінчитися нічиєю й залишитися на ігровому поліобладнанняІгрове полеНадрукована сітка для ставок на столі. Також: стіл, сукно, полотно.Читати повністю →, має дві. Бірюзова ставка Riverboat Roulette покриває 3 числа американського колеса, виграє 2 до 1, якщо одне з них випаде раніше за одне з 8 білих чисел, а на всіх інших числах дає нічию. На завершену ставку вона програє 2/11 суми ставки, 18,18%. На спін вона програє 2/38, 5,26%, бо в середньому ставка лежить на полі 38/11 спіну, приблизно 3,5. Обидва показники правильні. Показник на спін порівнює ставку з рештою столу й визначає, скільки коштує година гри; показник на завершену ставку показує, яка частина кожної ставки повертається, коли ставку нарешті розраховано.
Коли казино помиляється з ціною
Кожна перевага на цій сторінці походить з арифметики, яку казино зазвичай рахують правильно. Іноді – ні. У жовтні 1994 року Grand Casino у Білоксі (Міссісіпі) запропонувало 80 до 1 на те, що сума трьох кубиків дорівнюватиме 4, і стільки ж на 17. Три кубики падають 216 способами, і лише 3 з них дають у сумі 4, тож ставка повертала 81 × 3/216 = 1,125 на кожну поставлену одиницю: перевага 12,5% на користь гравця. Гравці це помітили. Казино програло близько $180 000 за день, зняло ставку і знову ввело її з виплатою 60 до 1, що перетворює ті самі 3 шанси з 216 на перевагу казино 15,3%. Цю історію розповідає Гунацек (Hunacek, 2025) з посиланням на Боллмана (Bollman). Стандартні виплати рулетки надто прості, щоб так помилитися; арифметику варто перевіряти на її незвичайних побічних ставкахставкаПобічна ставкаНеобов’язкова додаткова ставка до основної гри, зазвичай на серію, бонусну подію чи джекпот. Майже завжди дорожча за стандартні ставки.Читати повністю →.
Побічні ставки в інших настільних іграх
Боллман (Bollman, 2021) ставить основні ставки блекджеку, баккара, крепсу й рулетки поруч із типовими побічними ставками за тими самими столами. У перших трьох іграх побічна ставка коштує більше за основну, часто в рази. Американська рулеткарізновидАмериканська рулеткаКолесо з 0 і 00, 38 комірок, перевага казино 5,26%. На цьому сайті не є основною моделлю.Читати повністю → – виняток: її основні ставки коштують 5,26%, достатньо багато, щоб побічна ставка на кшталт Colors чи WINGO могла виявитися дешевшою.
Формула
Запитання
Ні. Це 2,70% від того, що ви ставите. Коли ви ставите ті самі гроші знову, вони знову входять у суму ставок.
Ні. Це пропорція. Очікуваний програш у доларах зростає разом зі ставкою.
Усі стандартні європейські ставки однакові. З la partage ставки на рівні шанси мають удвічі меншу перевагу, ніж решта.
Цікава математика
Спершу спробуйте розв’язати самі. Кожен розв’язок згорнуто; відкрийте його, коли будете готові.
На європейському колесі пряма ставкаставкаПряма ставкаОдне число, виплата 35:1.Читати повністю → і ставка на червонеставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю → обидві коштують 2,70%, хоча одна покриває одне число, а друга – вісімнадцять. Чому в кожної ставки однакова перевага казиноматематикаПеревага казиноЧастка кожної ставки, яку казино в середньому залишає собі: 2,70% у європейській рулетці.Читати повністю →?
Показати розв’язок
Відповідь Кожну виплатугрошіВиплатаТе, що приносить виграшна ставка; записується як «X до 1» понад повернену ставку.Читати повністю → встановлено так, ніби зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю → немає, тож кожна ставка програє одну одиницюгрошіОдиницяБазова ставка, якою оперує система або гравець. Прогресії описують в одиницях, щоб вони підходили для будь-якого столу.Читати повністю → за 37 спінів, хоч би що вона покривала.
Візьміть ставку на n чисел. Вона виплачується (36 − n)/n до 1. За 37 спінів вона в середньому виграє n разів і програє 37 − n разів.
Виграші приносять n × (36 − n)/n = 36 − n одиниць. Програші коштують 37 − n одиниць. Різниця – −1 одиниця кожні 37 спінів, і n скоротилося: результат той самий для прямої ставки, кареставкаКареЧотири числа зі спільним кутом на ігровому полі, виплата 8:1.Читати повністю → чи дюжиниставкаДюжина1–12, 13–24 або 25–36, виплата 2:1.Читати повністю →. Одна програна одиниця із 37 – це 2,70%.
На колесі з N коміркамиобладнанняКоміркаОдне з 37 пронумерованих відділень на роторі. Також: лунка, гніздо.Читати повністю → той самий підрахунок дає (36 − N)/N, тобто −2/38 = 5,26% на американському колесі. Єдина ставка, що випадає із цієї схеми, – американська ставка на п’ять чисел: за правилом вона мала б виплачуватися 6,2 до 1, а виплачується 6 і коштує 7,89%.
Кено, гра на кшталт лотереї, залишає собі 25% поставленого або більше. Якби казино додавало на колесо рулетки зеро, не змінюючи виплат, скільки зеро знадобилося б, щоб рулетка стала такою ж дорогою, як кено?
Показати розв’язок
Відповідь Дванадцять зеро: колесо з 48 комірками.
Із z зеро колесо має 36 + z комірок, а виплати й далі розраховано на 36. За правилом з попередньої задачі кожна ставка програє z одиниць за 36 + z спінів, тож перевага казино дорівнює z/(36 + z).
Прирівняйте це до чверті: 4z = 36 + z, отже, z = 12. Дванадцять зеро на колесі з 48 комірками коштували б 25%.
Колесо з трьома зеро на Стріпі в Лас-Вегасі, найдорожча рулетка, яку зустріне більшість гравців, має вчетверо менше.
зерокоміркиперевага казино1372,70%2385,26%3397,69%44010,00%124825,00%Лотерея Массачусетсу 2023 року запустила колесо з 36 числами й без зеро. Одне число платить 25 за 1, а червоне, чорнеставкаЧорнеСтавка на рівні шанси на 18 чорних чисел. Французькою: noir.Читати повністю →, непарне чи парне – 3 за 2. Без зеро воно дешевше за рулетку?
Показати розв’язок
Відповідь Ні, набагато дорожче: 30,56% на числі й 25% на червоному чи чорному, проти 2,70% на європейському колесі.
«За» включає ставку. Ставка $1 на число повертає $25 у середньому раз на 36 розіграшів: $25 назад за $36 поставлених, програш $11 із 36, 30,56%.
Ставка $2 на червоне повертає $3 у половині випадків: $3 назад на кожні $4 поставлених, програш 25%.
Зеро – лише один зі способів установити ціну. Рулетка платить так, ніби комірок 36, і додає 37-му; це колесо має 36 комірок і просто платить менше. Боллман (Bollman, 2024) дає це як вправу.
Казино хоче нову ставку на одинадцять простих чиселматематикаПросте числоЦіле число, більше за 1, яке ділиться без остачі лише на 1 і на себе: 2, 3, 5, 7, 11, 13 і так далі.Читати повністю → від 1 до 36: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 і 31. Скільки вона має виплачувати, щоб коштувати ті самі 2,70%, що й будь-яка інша ставка на європейському колесі? Скільки вона коштувала б при виплаті 2 до 1?
Показати розв’язок
Відповідь 25 до 11, приблизно 2,27 до 1. При 2 до 1 вона коштувала б 10,81%.
Скористайтеся правилом із першої задачі: ставка на n чисел виплачує (36 − n)/n до 1. При n = 11 це 25/11 до 1, незручна виплата: фішкагрошіФішкаЖетон, що позначає певну суму; його кладуть на ігрове поле, щоб зробити ставку. Також: check.Читати повністю → $10 виграла б $22,73.
При 2 до 1 ставка $1 виграє $2 в 11 спінах із 37 і програє $1 в інших 26: 22 − 26 = −4 одиниці на кожні 37 спінів, 10,81%.
Ось чому рулетка продає ставки на 1, 2, 3, 4, 6, 12 і 18 чисел: 36 ділиться на кожне з них, тож справедлива виплата – ціле число. Тейлор (Taylor, 2021) дає цю вправу з десятьма простими числами; насправді їх одинадцять.
Трохи гумору
1/37 кожної ставки, на кожній ставці, кожен спін.
Джерела
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Hunacek, M. Quantitative Literacy Through Games and Gambling.