Дисперсія
Чому пряма ставка і ставка на червоне з однаковим очікуваним програшемматематикаОчікуваний програшМатематичне сподівання, помножене на загальну суму ставок; середня сума, яку програють за сесію чи за певний період.Читати повністю → здаються різними іграми.
Дисперсія вимірює, наскільки результати розкидані навколо математичного сподівання. На одиницю ставки вона становить близько 34 для прямої ставки і близько 1 для червоного.
Формула для однієї ставки
Для ставки, що виплачує W до 1 з ймовірністюматематикаЙмовірністьМіра можливості результату: від 0 до 1 або від 0% до 100%. Одне число: 1/37 = 2,70%.Читати повністю → p, результат на одиницюгрошіОдиницяБазова ставка, якою оперує система або гравець. Прогресії описують в одиницях, щоб вони підходили для будь-якого столу.Читати повністю → – це +W з ймовірністю p і −1 з ймовірністю 1 − p. Математичне сподіванняматематикаМатематичне сподіванняСередній результат однієї ставки на довгій дистанції. Для кожної стандартної європейської ставки це −1/37 ставки.Читати повністю → – pW − (1 − p) = −1/37. ДисперсіяматематикаДисперсіяМіра того, як широко результати розкидані довкола математичного сподівання. Висока в прямої ставки, низька у ставок на рівні шанси.Читати повністю → – E[X²] − EV² = pW² + (1 − p) − (1/37)². Для прямої ставкиставкаПряма ставкаОдне число, виплата 35:1.Читати повністю →: (1/37)(1225) + 36/37 − 0,0007 ≈ 34,08. Для червоногоставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю →: 18/37 + 19/37 − 0,0007 ≈ 0,999.
Що це означає для сесії
Дисперсії додаються для незалежних спінівматематикаНезалежні спіниКожен спін має ті самі ймовірності незалежно від історії. Основа всіх розрахунків на цьому сайті.Читати повністю →, тож за N спінів із фіксованою ставкою дисперсія суми дорівнює N × ставка² × σ², а стандартне відхиленняматематикаСтандартне відхиленняКвадратний корінь із дисперсії; типова відстань результату від математичного сподівання.Читати повністю → – σ × ставка × √N. 100 спінів по $10: стандартне відхилення близько $584 для прямих ставок і $100 для червоного при тому самому очікуваному −$27. Один гравець бачить розмахи в сотні; інший – плавний дрейф. Обидва платять однакову ціну.
Дисперсія й системи
ПрогресіястратегіяПрогресіяБудь-яке правило, яке змінює ставку залежно від попередніх результатів. Негативні прогресії підвищують її після програшів, позитивні – після виграшів.Читати повністю → не змінює EV на одиницю ставки, але змінює і суму ставок, і форму розподілу. МартингейлстратегіяМартингейлПрогресія, яка подвоює ставку після кожного програшу. Що вона робить і чого не робить, дивіться в розділі «Стратегії».Читати повністю → знижує дисперсію більшості сесій (багато малих виграшів) і додає товстий хвіст (рідкісний великий програш); загальна дисперсія за всіма сесіями вища, ніж у гри фіксованою ставкоюстратегіяГра фіксованою ставкоюСтавити ту саму суму на кожному спіні. База, з якою порівнюють кожну прогресію.Читати повністю →, через цей хвіст. ПаролістратегіяПароліПозитивна прогресія: подвоєння після виграшу, скидання після програшу або після трьох виграшів поспіль. Також: зворотний мартингейл.Читати повністю → робить навпаки. Вибір системи – це вибір профілю дисперсії; середнього в меню немає.
- p10 −$500
- p25 −$500
- медіана −$500
- p75 +$40
- p90 +$1 120
Чому це важливо для гравця
Дисперсія робить короткі сесії непередбачуваними, а довгі – передбачуваними. При σ = $100 і EV = −$27 за 100 спінів перевага казино – чверть шуму, і виграшна сесія – звичайна річ. За 10 000 спінів EV – −$2 700, а σ – $1 000; перевага тепер майже втричі більша за шум, і виграшна серія – подія на три сигми. Дисперсія – друг гравця на короткій дистанції і друг казино на довгій.
Дисперсія комбінації
Для кількох ставок на тому самому спіні результати корельовані (влучання в 17 – це також влучання в чорнеставкаЧорнеСтавка на рівні шанси на 18 чорних чисел. Французькою: noir.Читати повністю → і в другу дюжинуставкаДюжина1–12, 13–24 або 25–36, виплата 2:1.Читати повністю →), тому дисперсії просто не додаються. Інструмент «Конструктор ставок» обчислює точний розподіл для будь-якого набору фішокгрошіФішкаЖетон, що позначає певну суму; його кладуть на ігрове поле, щоб зробити ставку. Також: check.Читати повністю →, перебираючи всі 37 результатів, і це єдиний правильний спосіб.
Формула
Запитання
Ні. Кожна ставка має те саме математичне сподівання. Вища дисперсія означає ширші коливання навколо нього.
Ставки на рівні шансиставкаСтавка на рівні шансиЧервоне/чорне, непарне/парне, велике/мале. 18 чисел, виплата 1:1.Читати повністю →, із σ ≈ 1 на одиницю. Ще нижча з la partageправилоLa partageФранцузьке правило: коли випадає зеро, половина ставки на рівні шанси повертається. Удвічі зменшує перевагу казино на цих ставках – до 1,35%.Читати повністю →, що також поліпшує середнє.
Очікуваний прибуток на долар той самий; дисперсія впливає лише на нерівномірність доходу казино, а в казино тисячі гравців, які її згладжують.
Цікава математика
Спершу спробуйте розв’язати самі. Кожен розв’язок згорнуто; відкрийте його, коли будете готові.
Двоє гравців ставлять по $1 за спін протягом 100 спінів на європейському колесі: один завжди на червонеставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю →, інший завжди на 17. Хто з них з більшою ймовірністю опиниться в плюсі наприкінці?
Показати розв’язок
Відповідь Гравець, що ставить на 17: 50,9% проти 35,5% для червоного. Обидва в середньому програють $2,70.
Червоне: гравець у плюсі, якщо виграє 51 раз або більше зі 100, щоразу з ймовірністюматематикаЙмовірністьМіра можливості результату: від 0 до 1 або від 0% до 100%. Одне число: 1/37 = 2,70%.Читати повністю → 18/37. Біноміальний розподіл дає 35,5%, а рівно 50 виграшів, тобто вихід у нуль, – ще 7,7%.
Число 17: кожен виграш повертає $36, тож двох виграшів (−$28) замало, а трьох (+$8) досить. Ймовірність трьох або більше влучань за 100 спінів при 1/37 – 50,9%.
Гравець на пряму ставку частіше опиняється в плюсі, але його результати нерівніші: на одне влучання більше чи менше – і результат зсувається на $36, а ті, хто програє, зазвичай програють більше. Боллман (Bollman, 2024) наводить американські цифри: 26,5% і 49,2%.
Трохи гумору
Той самий очікуваний програш. Один із них повідомляє про це голосно.
Джерела
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.