Розбір: Сесія за мартингейлом
Десять доларів на червоне, подвоєння після кожного програшу, стіл із лімітом $500. Спін за спіном, разом зі спіном, який усе закінчує.
Симульована сесія за мартингейлом із банкролом $1 000. Сорок один дрібний виграш, потім шість програшів поспіль і відхилена сьома ставка. Сесія закінчується з мінусом $220 після плюса $410, і саме так працює ця система.
План
Ставимо $10 на червонеставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю →. Після програшу подвоюємо. Після виграшу повертаємося до $10. Ліміт столустілЛіміт столуДозволена мінімальна й максимальна ставка. Саме максимум зупиняє прогресії з подвоєнням.Читати повністю → $500, тож ставки такі: 10, 20, 40, 80, 160, 320, а потім ставка $640, яку стіл відхилить. Шість програшів поспіль ламають систему; кожна спроба має (19/37)⁶ ≈ 1,8% закінчитися так, а сесія зі 100 спінів містить близько 50 спроб. Очікується приблизно 60% ймовірності зламати систему протягом 100 спінів і програш $630, коли це стається.
Спіни 1–30
Звичайний мартингейлстратегіяМартингейлПрогресія, яка подвоює ставку після кожного програшу. Що вона робить і чого не робить, дивіться в розділі «Стратегії».Читати повністю →: серії з одного-трьох програшів, кожну з яких завершує виграш із підсумком +$10. До 30-го спіну було 17 виграшів, кожен закрив цикл, і ми в плюсі на $170. Найбільша ставка досі – $80 після трьох програшів. Це схоже на машину для друку купюр по $10.
Спіни 31–60
Те саме, з одним циклом із чотирма програшами (ставки до $160, потім виграш), який ненадовго поклав на стіл $310 і здавався сміливістю. Після 60 спінів: завершено 41 цикл, ми в плюсі на $410, а найнижча точка банкролугрошіБанкролУся сума, відкладена на гру. Керування банкролом – це рішення про те, якою його часткою ризикувати в одній ставці та в одній сесії.Читати повністю → становила $1 040. Гістограма будь-якої сесії за мартингейлом майже на всій довжині виглядає саме так.
Спіни 61–66
П П П П П П. Ставки 10, 20, 40, 80, 160, 320: програно $630. Наступна ставка мала б бути $640; ліміт – $500. Система зламана. Можна поставити $500 (і навіть якщо вона виграє, цикл усе одно в мінусі на $130) або скинути до $10 і прийняти програш. Шість чорнихставкаЧорнеСтавка на рівні шанси на 18 чорних чисел. Французькою: noir.Читати повністю → чи зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю → поспіль мають ймовірністьматематикаЙмовірністьМіра можливості результату: від 0 до 1 або від 0% до 100%. Одне число: 1/37 = 2,70%.Читати повністю → 1,8% за цикл. Ми пройшли близько 45 циклів. Ймовірність дійти до цієї точки десь у 45 циклах становила близько 55%. Це не невезіння; це медіана.
- p10 −$1 000
- p25 −$1 000
- медіана −$1 000
- p75 +$790
- p90 +$1 690
Підрахунки
У плюсі на $410 після 60 спінів, у мінусі на $220 після 66. Загалом поставлено близько $2 100 за 66 спінів проти $660 для гравця з фіксованою ставкою $10. Очікуваний програшматематикаОчікуваний програшМатематичне сподівання, помножене на загальну суму ставок; середня сума, яку програють за сесію чи за певний період.Читати повністю → на $2 100 суми ставокгрошіСума ставокЗагальна сума, поставлена за сесію або період, разом із повторно поставленими виграшами. Також: handle, action.Читати повністю → становить $57; наші фактичні −$220 – приблизно на третину стандартного відхиленняматематикаСтандартне відхиленняКвадратний корінь із дисперсії; типова відстань результату від математичного сподівання.Читати повністю → нижче, що не дивно для системи, розподіл якої має довгий лівий хвіст. Якби ми зупинилися на 60-му спіні зі стоп-віномстратегіяСтоп-вінЗаздалегідь визначена сума виграшу, на якій ви завершуєте сесію.Читати повністю → $400, то пішли б у плюсі на $410, а наступна сесія мала б ті самі 1,8% за цикл.
Що показує сесія
Мартингейл перетворює ставку з 48,65% на послідовність, що виграє 98% своїх циклів і програє 63 одиницігрошіОдиницяБазова ставка, якою оперує система або гравець. Прогресії описують в одиницях, щоб вони підходили для будь-якого столу.Читати повністю → в решті 2%. Він не змінює очікуваного програшу на долар; він примножує долари. Гравець із фіксованою ставкою поруч поставив утричі менше й у середньому втратив утричі менше. Гравець, який грає за цією системою рік, виграватиме більшість вечорів і програє рік.
Як часто трапляється серія програшів
Ставка на рівні шанси на колесі з одним зеро програє в 19 спінах із 37. Кожен рядок – це ймовірність того, що всі спіни такої серії будуть програшними, і сума, яку на той момент програв гравець за мартингейлом, що подвоює ставку після кожного програшу.
| програшів поспіль | ймовірність | приблизно 1 із | уже програно | наступна ставка |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1 023 | $1 024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2 047 | $2 048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4 095 | $4 096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8 191 | $8 192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
Імовірність – це 19/37, помножене на себе один раз за кожен програш, і рахується вона від одного певного спіну. У довгій сесії багато спінів, з яких може початися така серія, тож за вечір вона набагато ймовірніша, ніж показує один рядок.
Запитання
Систему зламали б дев’ять програшів замість шести: 0,25% за цикл, і $5 110 програшу, коли це станеться. Рідший обрив, вищий обрив, ті самі −2,70%.
Вона виграла б у 48,65% випадків і все одно залишила б цикл на −$130. Після зламаного мартингейла хорошого ходу немає; є лише ставка, яку ви оберете далі.
Так, для цієї сесії. Для середнього за всіма сесіями – ні.
Цікава математика
Спершу спробуйте розв’язати самі. Кожен розв’язок згорнуто; відкрийте його, коли будете готові.
За столом із лімітами від $1 до $500 гравець за мартингейломстратегіяМартингейлПрогресія, яка подвоює ставку після кожного програшу. Що вона робить і чого не робить, дивіться в розділі «Стратегії».Читати повністю → починає зі ставки $1 на червонеставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю → на колесі з одним зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю →. Скільки програшів поспіль зупиняють подвоєння, скільки на той момент програно і як часто це стається?
Показати розв’язок
Відповідь Дев’ять програшів: програно $511, а наступна ставка мала б бути $512. Це стається приблизно раз на 403 послідовності.
Ставки: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 і 256 – разом $511. Десята мала б бути $512, понад ліміт. Ставка $500, навіть виграшна, залишає гравця в мінусі на $11; програшна – у мінусі на $1 011.
Червоне програє з ймовірністю 19/37, тож дев’ять програшів поспіль мають ймовірність (19/37)⁹ ≈ 0,25%, приблизно раз на 403 послідовності. Кожна завершена послідовність виграє $1, тож гравець очікує близько $402 дрібних виграшів перед одним програшем $511, і в середньому все одно програються 2,70% усього поставленого.
На колесі з двома зеро ймовірність (20/38)⁹, приблизно раз на 323. Боллман (Bollman, 2021) друкує «приблизно 1 із 833», а це (18/38)⁹ – ймовірність дев’яти виграшів поспіль.
Трохи гумору
Сорок один дрібний виграш і один великий програш. Ось і вся система.
Джерела
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”