Ймовірність серій
Довгі серії одного кольору – звичайна річ. А для наступного спіну вони нічого не означають.
П’ять червоних поспіль: 2,7%. Десять: 0,074%. За сесію з 200 спінів серія з шести одного кольору з’являється в більшості випадків.
Як часто трапляється серія програшів
Ставка на рівні шанси на колесі з одним зеро програє в 19 спінах із 37. Кожен рядок – це ймовірність того, що всі спіни такої серії будуть програшними, і сума, яку на той момент програв гравець за мартингейлом, що подвоює ставку після кожного програшу.
| програшів поспіль | ймовірність | приблизно 1 із | уже програно | наступна ставка |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1 023 | $1 024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2 047 | $2 048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4 095 | $4 096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8 191 | $8 192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
Імовірність – це 19/37, помножене на себе один раз за кожен програш, і рахується вона від одного певного спіну. У довгій сесії багато спінів, з яких може початися така серія, тож за вечір вона набагато ймовірніша, ніж показує один рядок.
Одна серія
ЙмовірністьматематикаЙмовірністьМіра можливості результату: від 0 до 1 або від 0% до 100%. Одне число: 1/37 = 2,70%.Читати повністю →, що наступні k спінів усі червоніставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю →, дорівнює (18/37)ᵏ. Два: 23,7%. П’ять: 2,7%. Десять: 0,074%, приблизно 1 із 1 350. Двадцять: 1 із 1,8 мільйона. Двадцять шість, рекорд Монте-Карло: 1 із 137 мільйонів. Це ймовірність конкретної серії, що починається на конкретному спіні, а це питання, яке майже ніхто насправді не ставить.
За сесію
Люди зазвичай мають на увазі питання «чи з’явиться десь у моїй сесії серія з k?», і відповідь набагато більша за (18/37)ᵏ, бо сесія з 200 спінів дає майже 200 місць, де серія може початися. Серія з шести і більше одного кольору, червоного чи чорногоставкаЧорнеСтавка на рівні шанси на 18 чорних чисел. Французькою: noir.Читати повністю →, з’являється в сесії з 200 спінів приблизно в 94% випадків; з восьми і більше – приблизно в 47%; з десяти і більше – приблизно в 14%. Якщо назвати колір заздалегідь, шанси падають – приблизно до 75%, 27% і 7%. Гравець, який сидить увесь вечір, бачитиме довгі серії щовечора.
Чому серії важливі для мартингейла
Кожна негативна прогресіястратегіяПрогресіяБудь-яке правило, яке змінює ставку залежно від попередніх результатів. Негативні прогресії підвищують її після програшів, позитивні – після виграшів.Читати повністю → має довжину серії, яка її ламає: шість програшів від бази $10 при ліміті $500, десять для ФібоначчістратегіяФібоначчіПрогресія за послідовністю 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: один крок уперед після програшу, два кроки назад після виграшу.Читати повністю →, п’ять для потроєння на дюжинахставкаДюжина1–12, 13–24 або 25–36, виплата 2:1.Читати повністю →. Ймовірність програшної серії з шести на рівних шансах – (19/37)⁶ ≈ 1,8% на спробу, а сесія з 200 спінів містить, можливо, 100 спроб, тож злам настає приблизно в чотирьох сесіях із п’яти такої довжини. Ймовірності серій – причина, чому цей обрив не рідкість.
Гарячі й холодні числа
Та сама арифметика стосується прямих ставокставкаПряма ставкаОдне число, виплата 35:1.Читати повністю →. За 300 спінів очікувана кількість на число – 8,1; стандартне відхиленняматематикаСтандартне відхиленняКвадратний корінь із дисперсії; типова відстань результату від математичного сподівання.Читати повністю → – близько 2,8. Якесь число покаже 15 влучань, а якесь 2 лише випадково, щоразу. Табло результатів, що підсвічує «гарячі» числа, підсвічує верхівку нормального розподілу. Лабораторія пояснює, скільки спінів потрібно, перш ніж гаряче числоміфГаряче числоЧисло, яке останнім часом випадало частіше, ніж очікувалося. На чесному колесі воно нічого не передбачає.Читати повністю → щось означатиме (тисячі, з одного визначеного колеса).
Уся суть у незалежності
Серія з десяти червоних не робить чорне ймовірнішим і не робить ймовірнішим червоне. В обох випадках 18/37. Серії – властивість випадкових послідовностей, а їхня відсутність викликала б підозру: послідовність із 200 спінів без жодної серії довшої за чотири була б набагато сильнішим свідченням підтасовки, ніж послідовність із серією з дванадцяти.
Формула
Запитання
Найвідоміша – 26 чорних у Монте-Карло 18 серпня 1913 року. Про 32 червоних поспіль повідомляли в американському казино в 1943 році. Обидва випадки узгоджуються з випадковістю, зважаючи на кількість спінів, які крутять казино.
В обох випадках 18/37. Ставте те, що каже ваш план, або нічого.
Ні. Перекіс проявляється в тому, що деякі коміркиобладнанняКоміркаОдне з 37 пронумерованих відділень на роторі. Також: лунка, гніздо.Читати повністю → випадають частіше впродовж тисяч спінів, а не в серіях кольору.
Цікава математика
Спершу спробуйте розв’язати самі. Кожен розв’язок згорнуто; відкрийте його, коли будете готові.
Скільки спінів європейського колеса в середньому потрібно, щоб кожне з 37 чисел випало принаймні один раз?
Показати розв’язок
Відповідь У середньому близько 155 спінів; медіана – 147.
Рахуйте очікування по одному новому числу. Перший спін завжди показує нове число. Коли ви вже бачили 1 число, нових комірокобладнанняКоміркаОдне з 37 пронумерованих відділень на роторі. Також: лунка, гніздо.Читати повністю → – 36 із 37, тож наступне нове число в середньому потребує 37/36 спіну. Коли ви бачили k чисел, воно потребує 37/(37 − k).
Додайте очікування: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 спіну.
Більша частина припадає на кінець. Саме останнє число в середньому потребує 37 спінів, а останні п’ять – близько 85. На американському колесі та сама сума дає близько 161. Це задача про збирача купонів; Wizard of Odds наводить те саме середнє.
Скільки різних чисел слід очікувати за 37 спінів європейського колеса, по одному спіну на кожну комірку?
Показати розв’язок
Відповідь Близько 23,6. Приблизно третина чисел, близько 13, не випаде зовсім.
Візьміть одне число, скажімо 17. У кожному спіні воно не випадає з ймовірністю 36/37, тож пропускає всі 37 спінів з ймовірністю (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Кожне число має ту саму ймовірність, тож у середньому 37 × 0,363 ≈ 13,4 числа не випадають, а 37 − 13,4 ≈ 23,6 випадають, багато з них двічі чи частіше.
Гравці в рулетку називають це «законом третин». Це не закон, а лише арифметика повторів: у серії, довгій, як саме колесо, близько третини чисел не випадає, і на чесному колесі так само, як на будь-якому іншому. На 38 комірках ця частка теж становить (37/38)³⁸ ≈ 0,363; для великого колеса вона наближається до 1/e ≈ 0,368.
Друг показує вам два списки з 50 кольорів, червонеставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю → чи чорнеставкаЧорнеСтавка на рівні шанси на 18 чорних чисел. Французькою: noir.Читати повністю →, кожен нібито з колеса, де зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю → пропущено. В одному колір змінюється 25 разів, а найдовша серія – шість. В іншому колір змінюється 35 разів, а серії ніколи не бувають довшими за три. Який список вигадано?
Показати розв’язок
Відповідь Другий. Справжній список змінює колір приблизно 24 чи 25 разів. Список із 35 змінами трапляється приблизно раз на 500 списків, а список без серії довшої за три – приблизно двічі на 100.
Кожен новий колір або повторює попередній, або змінюється, навпіл, тож 49 нагод змінитися дають у середньому 24,5 зміни, плюс-мінус приблизно 3,5. Тридцять п’ять – це на три такі кроки вище за середнє; чесне колесо дає стільки змін приблизно раз на 500 списків.
Серії розповідають те саме. Справжній список із 50 має серію з чотирьох і більше приблизно у 98% випадків, а його найдовша серія найчастіше – п’ять або шість.
Люди, яких просять вигадати випадковий список, змінюють колір надто часто, бо серія з чотирьох чи п’яти здається їм закономірністю. Тейлор (Taylor, 2021) показує ту саму прикмету у списках підкидань монети, вигаданих студентами: справжня випадковість має більше серій, ніж люди очікують.
Книжка казино-історій розповідає про гравця, чиє число випало п’ять разів поспіль, і називає це рекордом. Наскільки це рідкісно на європейському колесі? І як часто це має траплятися десь в одному казино з 20 столами, кожен із яких робить 40 спінів на годину, вдень і вночі?
Показати розв’язок
Відповідь Назване наперед число п’ять разів поспіль: 1 із 69 мільйонів. Будь-яке число, що після першої появи випаде ще чотири рази: 1 із 1,87 мільйона. Таке казино робить близько 7 мільйонів спінів на рік, тож серію з п’яти воно має бачити три-чотири рази на рік.
Назване число випадає з ймовірністю 1/37 на кожному спіні, тож п’ять поспіль мають ймовірність (1/37)⁵ = 1 із 69 343 957. Але ніхто не називає число наперед. Хоч би що випало першим, наступні чотири спіни мають його повторити: (1/37)⁴ = 1 із 1 874 161.
20 столів × 40 спінів × 24 години × 365 днів = 7 008 000 спінів на рік. Кожен спін може почати серію, тож казино очікує 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 серії з п’яти на рік.
Офіційного рекорду такого роду не існує, і він не потрібен: рідкісна подія за одним столом – звичайна в масштабі казино, а історії розповідають про той стіл, де це сталося. У Голдмана (Goldman, 2007) ця історія відбувається на колесі з двома зеро, де цифри – 1 із 79 мільйонів і 1 із 2,09 мільйона.
Трохи гумору
Довгі серії – такий вигляд має випадковість.
Джерела
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.