Задача: Ліміт столу
Мартингейл із $10 за столом із лімітом $500. Як часто він ламається, скільки втрачає, коли ламається, і чи допомагає підвищення ліміту?
Шість програшів поспіль ламають його: 1,8% на цикл, приблизно 60% сесій по 100 спінів. Злам коштує $630. Підвищення ліміту до $5 000 робить злам рідшим (0,25% на цикл) і більшим ($5 110). Очікуваний програш на долар ставок – 2,70% при будь-якому ліміті.
Задача
Гравець ставить $10 на червонеставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю → і подвоює після кожного програшу, а після виграшу починає спочатку. Максимум за столом – $500. (а) Скільки програшів поспіль ламають прогресіюстратегіяПрогресіяБудь-яке правило, яке змінює ставку залежно від попередніх результатів. Негативні прогресії підвищують її після програшів, позитивні – після виграшів.Читати повністю →? (б) Яка ймовірністьматематикаЙмовірністьМіра можливості результату: від 0 до 1 або від 0% до 100%. Одне число: 1/37 = 2,70%.Читати повністю → на цикл? (в) Скільки втрачено при зламі? (г) Як відповіді змінюються при ліміті $5 000? (д) Чи робить будь-який ліміт систему прибутковою?
Розв’язання (а)–(в)
Ставки: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Сьома була б 640 > 500, тож шість програшів ламають її. (б) p(програш) = 19/37 на червоному; (19/37)⁶ = 0,0183, близько 1,8% на цикл. Цикл у середньому триває близько двох спінів, тож у сесії з 100 спінів приблизно 50 циклів і p(принаймні один злам) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (в) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, тобто 63 базові одиницігрошіОдиницяБазова ставка, якою оперує система або гравець. Прогресії описують в одиницях, щоб вони підходили для будь-якого столу.Читати повністю →, тоді як цикл намагався виграти $10.
Розв’язання (г)
При $5 000: дозволені ставки до 2 560; десяту ставку, 5 120, відхиляють. Дев’ять програшів ламають її: (19/37)⁹ ≈ 0,25% на цикл, близько 11% сесій по 100 спінів. Програш при зламі: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Гравець купив рідшу катастрофу ціною більшої. За багато сесій очікувана вартість зламів p × програш ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 на цикл при ліміті $500 і 0,0025 × 5 110 = $12,8 при $5 000; це, з точністю до округлення, те саме число, і це очікуваний програшматематикаОчікуваний програшМатематичне сподівання, помножене на загальну суму ставок; середня сума, яку програють за сесію чи за певний період.Читати повністю → циклу мінус $10, які заробляють виграшні цикли.
Розв’язання (д)
Ні. Очікуваний програш на цикл = (очікувана загальна ставка в циклі) / 37 при будь-якому ліміті, бо кожна ставка – це −1/37 від самої себе. Ліміт лише вирішує, як програш розподіляється між багатьма малими виграшами і кількома великими програшами. Без ліміту й з безмежним банкроломгрошіБанкролУся сума, відкладена на гру. Керування банкролом – це рішення про те, якою його часткою ризикувати в одній ставці та в одній сесії.Читати повністю → прогресія «працювала» б у тому сенсі, що ніколи не ламалася б, але вона й ставила б необмежену суму з очікуваним програшем 2,70% цієї необмеженої суми. Не ліміт столустілЛіміт столуДозволена мінімальна й максимальна ставка. Саме максимум зупиняє прогресії з подвоєнням.Читати повністю → заважає мартингейлустратегіяМартингейлПрогресія, яка подвоює ставку після кожного програшу. Що вона робить і чого не робить, дивіться в розділі «Стратегії».Читати повністю → працювати. Заважає арифметика.
Два реальні столи
Приклад Торпа – стіл зі ставками від $1 і максимумом $1 000, за яким гравець сподівається виграти $30 на вечерю, по долару за раз. Ставки 1, 2, 4 … 512 дають змогу зробити десять ставок, тож десять програшів поспіль ламають прогресію: один раз на 785 циклів на європейському колесі (один раз на 613 на американському), і це коштує $1 023. Усі тридцять циклів вдаються в 96,2% випадків. В інших 3,8% гравець програє близько $1 000, а середній результат вечора – −$9,17, тобто рівно 1/37 від $339, які тридцять циклів у середньому ставлять. Стіл зі ставками від $5 і максимумом $2 000 нічим не відрізняється: ставки до $1 280 дають змогу зробити дев’ять ставок, а злам трапляється раз на 403 цикли на європейському колесі (раз на 323 на американському) й коштує $2 555.
Багатий гравець
Дайте прогресії глибокий банкрол замість низького ліміту: 1 000 одиниць, базова ставка в одну одиницю і 1 000 спінів на червоне, причому гравець починає знову з однієї одиниці щоразу, коли наступне подвоєння більше за те, що залишилося. Ми змоделювали мільйон таких вечорів. На європейському колесі 52% вечорів закінчуються в плюсі, у 21% гравець програє все, а середній результат – −124 одиниці. Навіть у грі без зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю →, де кожна ставка справедлива, у плюсі закінчилися б лише близько 60%. Звичайний вечір – невеликий виграш; середнє оплачують вечори, що закінчуються нулем.
Урок
Казино встановлюють ліміти, щоб обмежити власну дисперсіюматематикаДисперсіяМіра того, як широко результати розкидані довкола математичного сподівання. Висока в прямої ставки, низька у ставок на рівні шанси.Читати повністю →, а не щоб перемагати системи. Перемога над мартингейлом – побічний ефект, який їх влаштовує, і арифметика все одно перемогла б його. Гравець, який вважає проблемою ліміт, знайшов обрив і сплутав його зі схилом.
Формула
Запитання
Він дозволяє дожити до вищого ліміту, де злам рідший і більший. Очікуваний програш на долар не змінюється.
Ставки 10, 30, 70, 150, 310: ліміт $500 досягається після п’яти програшів, а злам коштує $570. Ті самі 2,70%.
Щоб один гравець не міг поставити більше, ніж резерв казино може зручно виплатити. Керування дисперсією.
Цікава математика
Спершу спробуйте розв’язати самі. Кожен розв’язок згорнуто; відкрийте його, коли будете готові.
Гравець за мартингейломстратегіяМартингейлПрогресія, яка подвоює ставку після кожного програшу. Що вона робить і чого не робить, дивіться в розділі «Стратегії».Читати повністю → починає з $100 на червонеставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю → і дозволяє собі щонайбільше n ставок за цикл: після n програшів поспіль він здається й починає знову. Запишіть середній результат одного циклу формулою від n і обчисліть його для 5, 6 і 7 ставок на європейському колесі.
Показати розв’язок
Відповідь Середнє дорівнює 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 для 5 ставок, −$17,35 для 6 і −$20,52 для 7. Що більше ставок дозволено, то гіршим стає середній цикл, а не кращим.
Цикл виграє $100, якщо не програють усі n ставок, а це стається з ймовірністю qⁿ, де q = 19/37. Коли програють усі, ставки 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ разом дають 100 × (2ⁿ − 1). Отже, середнє дорівнює 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Тут 2q = 38/37, трохи більше за 1, тож (2q)ⁿ зростає з n, а середнє падає: n = 5 дає 1,1426 і −$14,26; n = 6 дає 1,1735 і −$17,35; n = 7 дає 1,2052 і −$20,52. Довша драбинка програє рідше, у 3,6%, 1,8% і 0,9% циклів, але кожен програш удвічі більший, і за цикл через стіл проходить більше грошей, по 2,70% з кожної ставки.
На американському колесі 2q = 40/38, і цифри такі: −$29,24, −$36,04 і −$43,20 (Taylor, 2021). У грі без зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю → 2q = 1, і кожен цикл у середньому дає рівно нуль, хоч би якою довгою була драбинка.
«Великий мартингейл» після програшу подвоює ставку й додає одну одиницюгрошіОдиницяБазова ставка, якою оперує система або гравець. Прогресії описують в одиницях, щоб вони підходили для будь-якого столу.Читати повністю →, тож ставки йдуть так: 1, 3, 7, 15, 31 … Скільки ви в плюсі, якщо перший виграш припадає на 1-шу, 2-гу, 3-тю чи k-ту ставку? За одиниці $10 і максимуму $500: як часто цикл обривається і скільки цикл коштує в середньому?
Показати розв’язок
Відповідь Виграш на k-й ставці дає k одиниць у плюсі: +1, +2, +3 і так далі. За $10 і $500 цикл обривається після п’яти програшів, у 3,57% циклів, з результатом −$570. У середньому цикл програє $2,32 з $85,73 поставлених: 2,70%.
k-та ставка становить 2ᵏ − 1 одиниць: 1, 3, 7, 15, 31. Перші k − 1 ставок разом дають 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Виграш на k-й ставці приносить 2ᵏ − 1, тож цикл закінчується з (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k одиниць у плюсі: по одній зайвій одиниці за кожен програш перед виграшем.
За $10 за одиницю ставки становлять $10, $30, $70, $150 і $310; наступна, $630, перевищує максимум $500. П’ять програшів поспіль, (19/37)⁵ = 3,57%, коштують 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Середнє: виграші приносять $10 × k з ймовірністю (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 для k від 1 до 5, а обрив забирає $570 з ймовірністю 3,57%; разом −$2,32. Сума ставок у середньому становить $85,73 за цикл, і 2,32/85,73 = 2,70%. Звичайний мартингейл за тим самим столом обривається після шести програшів, у 1,83% циклів, з результатом −$630, і програє $1,74 з $64,20 поставлених: знову 2,70%.
Гравець планує мартингейл на червоне з першою ставкою $1 за столом із лімітом $1 000, тож можливі десять ставок: $1, $2, $4 і так далі до $512. Як часто цикл програє всі десять, скільки ставок у середньому на це йде і як часто вечір із 200 ставок закінчується саме так?
Показати розв’язок
Відповідь Цикл програє всі десять приблизно раз із 784, і це коштує $1 023. Це в середньому близько 1 600 ставок, а вечір із 200 ставок упирається в стіну приблизно в 11% випадків. Цикл усе одно в середньому програє $0,31 з $11,31 поставлених: 2,70%.
Ставка на червоне програє з ймовірністю 19/37, враховуючи зеро. Десять поспіль: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, приблизно 1 із 784. Ставки 1 + 2 + 4 + … + 512 разом дають $1 023.
Цикл триває в середньому 2,05 ставки, тож 784 цикли займають близько 1 600 ставок. Якщо рахувати спін за спіном, серія з десяти програшів трапляється десь у межах 200 ставок в 11,3% випадків.
Між катастрофами гравець виграє $1 за цикл: близько $783 до поганого циклу, потім −$1 023, разом близько −$240 за весь відрізок. На цикл: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Сума ставок за цикл: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. І −0,31/11,31 = −2,70%.
Порівняйте з першою ставкою $10 при ліміті $500, шість ставок: стіна трапляється раз на 55 циклів, а вечір із 200 ставок натрапляє на неї в 84% випадків. Вищий ліміт робить крах рідшим і більшим, але не дешевшим.
Трохи гумору
Рідше й більше, при кожному ліміті. Добуток стале.
Джерела
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.