Збіжність на довгій дистанції
Як середнє наближається до −2,70% і чому на це йде більше часу, ніж підказує інтуїція.
Середній програш за спін збігається до −1/37 в міру накопичення спінів, а розкид зменшується як 1/√N. Після 1 000 спінів на червоне середнє зазвичай відхиляється від свого сподівання не більше ніж на ±3%.
Закон великих чисел
Поточне середнє незалежних ставок прямує до математичного сподіванняматематикаМатематичне сподіванняСередній результат однієї ставки на довгій дистанції. Для кожної стандартної європейської ставки це −1/37 ставки.Читати повністю →. Після N спінів зі ставкою на рівні шанси в одну одиницюгрошіОдиницяБазова ставка, якою оперує система або гравець. Прогресії описують в одиницях, щоб вони підходили для будь-якого столу.Читати повністю → середній результат за спін має сподівання −1/37 і стандартне відхиленняматематикаСтандартне відхиленняКвадратний корінь із дисперсії; типова відстань результату від математичного сподівання.Читати повністю → 1/√N. При N = 100 цей розкид становить 10% ставки, майже вчетверо більше за сигнал 2,7%. При N = 1 000 він становить 3,2%, приблизно стільки ж, скільки сигнал. При N = 10 000 він становить 1%, і перевага казино чітко видна. Перевага невидима в одній сесії й безпомилкова за рік.
Що збігається, а що ні
Середнє за спін збігається. Загальна сума – ні: вона віддаляється від нуля зі зростанням N, у середньому приблизно на 2,7% від N, із розкидом √N навколо цього. Гравець, який зіграв 10 000 спінів по $10, очікувано програє $2 700, плюс-мінус $1 000. Поточна частка червонихставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю → давно усталилася близько 48,65%; поточний баланс не усталився ніде.
- p10 −$440
- p25 −$280
- медіана −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Чому інтуїція підводить
Люди очікують, що перевага проявиться швидко, бо 2,70% звучить як багато, і що довгі серії «вирівняються», бо закон великих чиселматематикаЗакон великих чиселСереднє незалежних результатів збігається до математичного сподівання, коли кількість випробувань зростає.Читати повністю → каже, що середні збігаються. Обидві інтуїції хибно оцінюють масштаб: перевага мала порівняно з дисперсієюматематикаДисперсіяМіра того, як широко результати розкидані довкола математичного сподівання. Висока в прямої ставки, низька у ставок на рівні шанси.Читати повністю → одного спіну (σ = 1 одиниця при EV = 0,027), тож щоб вона стала помітною на рівні однієї сигми, потрібно (1/0,027)² ≈ 1 400 спінів. А збіжність середнього нічого не робить для повернення загальної суми; вона лише розбавляє минулі коливання.
Збіжність для інших ставок
Для прямих ставокставкаПряма ставкаОдне число, виплата 35:1.Читати повністю → σ = 5,84, тож той самий розрахунок дає (5,84/0,027)² ≈ 47 000 спінів, щоб перевага досягла однієї сигми. Гравець із прямими ставками може грати роками, а перевага казино в його власних записах не відрізнятиметься від везіння, при цьому він платить рівно ті самі 2,70%, що й гравець на червоне, який бачить її за кілька тижнів.
Висновок для перевірки систем
Той, хто стверджує, що система працює, має вміти показати це на 10 000 і більше спінів із задокументованим додатним середнім. При 1 000 спінів додатне середнє зі ставкою на рівні шанси – подія, що трапляється раз із п’яти, за нульової гіпотези; при 100 спінів це майже підкидання монети. Симулятори на цьому сайті проганяють 2 000 сесій обраної вами довжини за секунду, а це більше доказів, ніж будь-який відгук.
Формула
Запитання
ЙмовірністьматематикаЙмовірністьМіра можливості результату: від 0 до 1 або від 0% до 100%. Одне число: 1/37 = 2,70%.Читати повністю → будь-коли знову опинитися в плюсі спадає до нуля, поки ви граєте. Загальна сума безмежно зсувається вниз.
Ні. Це означає, що минулі коливання стають меншою часткою більшої вибірки.
Для рівних шансів – близько 10 000, перш ніж перевага казино стане чітко видна. Для прямих ставок – близько 50 000.
Цікава математика
Спершу спробуйте розв’язати самі. Кожен розв’язок згорнуто; відкрийте його, коли будете готові.
Двоє друзів грають 20 раундів справедливої гриматематикаСправедлива граГра, у якій жодна сторона не має переваги: математичне сподівання кожної ставки дорівнює нулю.Читати повністю → – підкидають монету або ставлять червонеставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю → проти чорногоставкаЧорнеСтавка на рівні шанси на 18 чорних чисел. Французькою: noir.Читати повністю → з поверненням ставок на зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю → – і ведуть поточний рахунок. Порахуйте раунди, протягом яких попереду кожен із них (нічия зараховується тому, хто вів безпосередньо перед нею). Що ймовірніше: що лідерство поділиться 10 раундів на 10 чи що один друг лідируватиме всі 20?
Показати розв’язок
Відповідь Що один друг лідируватиме всі 20 раундів, набагато ймовірніше: 35,2%, якщо рахувати будь-якого з двох, проти 6,1% для рівних 10 на 10.
Ймовірність того, що чесний поточний рахунок рівний після 2k раундів, u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 після 10 раундів і 0,176 після 20. Класичний результат, закон арксинуса, стверджує, що ймовірність того, що один названий друг лідирує рівно 2k із 2n раундів, дорівнює u(2k) × u(2n − 2k).
Лідерство всі 20: u(20) × u(0) = 0,176 для кожного з друзів, 35,2% для будь-якого. Рівний поділ: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, найменш імовірний поділ з усіх.
Отже, у справедливій грі лідерство рідко переходить з рук у руки. Гравець, який увесь вечір був у плюсі чи весь вечір у мінусі, не побачив нічого незвичного, і це нічого не каже ні про колесо, ні про вміння. Епштейн (Epstein, 2013) наводить той самий закон для довших ігор: у половині випадків щасливіша сторона лідирує понад 85% гри.
Трохи гумору
Середнє збігається. Загальна сума просто йде.
Джерела
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.