Ризик розорення
Ймовірність програти весь банкрол, перш ніж досягти мети.
Для ставок на рівні шанси ризик розорення визначає формула розорення гравця. З банкролом $500, ставками по $10 і метою $600 ви досягаєте мети приблизно в 57% випадків, а в решті розоряєтеся.
Питання
У вас є a одиницьгрошіОдиницяБазова ставка, якою оперує система або гравець. Прогресії описують в одиницях, щоб вони підходили для будь-якого столу.Читати повністю → банкролугрошіБанкролУся сума, відкладена на гру. Керування банкролом – це рішення про те, якою його часткою ризикувати в одній ставці та в одній сесії.Читати повністю →, і ви хочете дійти до a + b одиниць, ставлячи по одній одиниці за раз на ставку на рівні шансиставкаСтавка на рівні шансиЧервоне/чорне, непарне/парне, велике/мале. 18 чисел, виплата 1:1.Читати повністю → з ймовірністюматематикаЙмовірністьМіра можливості результату: від 0 до 1 або від 0% до 100%. Одне число: 1/37 = 2,70%.Читати повністю → виграшу p = 18/37 і ймовірністю програшу q = 19/37. Яка ймовірність, що ви досягнете мети, перш ніж дійдете до нуля? Відповідь знайшли Паскаль (Blaise Pascal), Ферма і Гюйгенс у 1650-х роках, і це один із найстаріших результатів теорії ймовірностей.
Формула розорення гравця
P(досягнення мети) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Ризик розоренняматематикаРизик розоренняЙмовірність програти весь банкрол раніше, ніж буде досягнуто мети або заданої кількості спінів.Читати повністю → – це одиниця мінус це. При q/p = 19/18 ≈ 1,0556 це відношення зростає експоненційно за кількістю одиниць, тож формула жорстко карає малі одиниці: чим більше ставок потрібно для досягнення мети, тим більше разів по дорозі сплачується мито 2,70%.
Як це читати
Малі одиниці шкодять. Спроба подвоїти $500 ставками по $10 вдається в 6% випадків; однією ставкою $500 – у 48,6%. Смілива гра, менше й більші ставки, максимізує ймовірність досягти мети в грі з від’ємним сподіванням, бо мінімізує кількість разів, коли застосовується перевага казино. Вона також максимізує дисперсіюматематикаДисперсіяМіра того, як широко результати розкидані довкола математичного сподівання. Висока в прямої ставки, низька у ставок на рівні шанси.Читати повністю → того, що з вами станеться, і швидко завершує вечір. Теорема називається «смілива гра оптимальна», її довели Дубінс (Dubins) і Севідж (Savage) у 1965 році.
Звідки взялася задача
Це питання старше за рулетку. 1656 року Паскаль загадав Ферма задачу: два гравці кидають три кості, і кожен починає з 12 жетонів; кидок на 11 переміщує жетон в один бік, кидок на 14 – в інший. Обидва її розв’язали, а Гюйгенс, який дізнався про неї з листа математика П’єра де Каркаві (Pierre de Carcavi), опублікував її 1657 року як п’яту задачу першої книжки про ймовірність – з відповіддю, але без доведення. Одинадцять можна викинути 27 способами, а чотирнадцять – лише 15, тож кожен жетон переходить на бік першого гравця 9 разів із 14, і за наведеною вище формулою, коли в кожного по 12 жетонів, перший гравець приблизно в 1 157 разів ймовірніше виграє все, ніж програє все. Перевага 2,70% набагато менша, але та сама формула показує, що вона робить на великій кількості ставок.
Справжня смілива ставка
У квітні 2004 року молодий англієць Ешлі Ревелл (Ashley Revell) продав майже все, що мав, зокрема одяг, і привіз $135 300 до казино Plaza у Лас-Вегасі. Після кількох дрібних ставок він поставив усю суму на червонеставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю →, один раз. КулькаобладнанняКулькаМаленька кулька, яку запускають доріжкою проти обертання ротора. Сучасні кульки роблять з іворину або тефлону, 18–21 мм.Читати повністю → зупинилася на червоному 7, і він пішов із $270 600. На колесі з подвійним зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю → цей єдиний спін давав ймовірність 47,37% і коштував йому в середньому $7 121 – це перевага 5,26% на одній ставці. Якби він ішов до тієї самої мети ставками по $10, шансів майже не було б. Смілива гра не робить ставку вигідною; вона робить її якомога коротшою.
Ризик розорення без мети
Якщо ви просто граєте, доки не розоритеся, або зупиняєтеся після N спінів, питання стає таким: «яка ймовірність, що мій банкрол торкнеться нуля протягом N спінів?». Для загального N немає замкненої формули, але симулятори на цьому сайті її обчислюють: банкрол $500 при $10 на червоне майже ніколи не розоряється за 100 спінів (менше 1%), розоряється приблизно в 9% випадків за 500 спінів і приблизно в 95% за 5 000. Без правила зупинки ймовірність прямує до 100%, і це версія переваги казиноматематикаПеревага казиноЧастка кожної ставки, яку казино в середньому залишає собі: 2,70% у європейській рулетці.Читати повністю → на довгій дистанції.
- p10 −$500
- p25 −$500
- медіана −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Як довго і наскільки в плюсі
Ще два класичні результати відповідають на питання, які гравці справді ставлять. Без мети гра фіксованою ставкою на рівні шанси триває в середньому 37 спінів на кожну одиницю банкролу на європейському колесі та 19 на американському, бо кожен спін забирає в середньому 1/37 одиниці (1/19 на американському колесі): 100 одиниць тримаються в середньому 3 700 спінів, хоча половина таких сесій закінчується за 3 134 (див. «Тривалість і вартість сесії»). І хоч яким великим був би банкрол, ймовірність на європейському колесі колись опинитися в плюсі на k одиниць дорівнює (18/19)ᵏ. Це 95% для однієї одиниці й 58% для десяти, але жоден банкрол, хоч який глибокий, не дає навіть половинної ймовірності колись опинитися в плюсі на 13 одиниць; на американському колесі ця ймовірність дорівнює (9/10)ᵏ і падає нижче половини вже на 7 одиницях.
Банкрол для шансу п’ятдесят на п’ятдесят
Переверніть питання: скільки треба принести, щоб із ймовірністю не менше половини виграти певну суму, перш ніж ви втратите все? Для малого виграшу – небагато. Для більшого потрібний банкрол стрімко зростає, а після певної межі не вистачить жодного банкролу, бо навіть із нескінченним ймовірність колись настільки вийти в плюс менша за половину. Тейлор (Taylor, 2021) пояснює це інакше: на американському колесі, щоб із ймовірністю в половину дійти до 100 одиниць, треба почати з 94, ризикуючи 94, щоб виграти 6. На європейському колесі знадобилося б 88.
Практичний висновок
Вирішіть, що ви намагаєтеся зробити. Якщо мета – конкретний виграш, ставте великі суми й небагато разів. Якщо мета – довгий вечір, ставте мало й приймайте, що перевага візьме свої 2,70% із великої суми ставокгрошіСума ставокЗагальна сума, поставлена за сесію або період, разом із повторно поставленими виграшами. Також: handle, action.Читати повністю →. Якщо мета – і те, і те, щось має поступитися, і зазвичай це мета.
Формула
Запитання
МартингейлстратегіяМартингейлПрогресія, яка подвоює ставку після кожного програшу. Що вона робить і чого не робить, дивіться в розділі «Стратегії».Читати повністю → знижує його на коротких сесіях і різко підвищує на довгих. Чесний спосіб знизити його – гра фіксованою ставкоюстратегіяГра фіксованою ставкоюСтавити ту саму суму на кожному спіні. База, з якою порівнюють кожну прогресію.Читати повністю → з більшою одиницею.
Наведена формула стосується рівних шансів. Для ставок із високою дисперсією розорення ймовірніше за малих ставок, а мети досягають нерівномірніше; користуйтеся калькулятором.
Кожен крок до мети трохи менш імовірний, ніж крок до розорення; це відношення накопичується за кількістю кроків.
Цікава математика
Спершу спробуйте розв’язати самі. Кожен розв’язок згорнуто; відкрийте його, коли будете готові.
У вас $100, ви хочете $1 000 і ставите лише на червонеставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю →. План перший: ставити по $1. План другий: ставити все, що маєте, доки не перевищите $500, а потім рівно стільки, щоб дійти до $1 000. Який план кращий і наскільки?
Показати розв’язок
Відповідь План другий, і з великим відривом. Він доходить до $1 000 приблизно в 9,0% випадків, близько до справедливих 10%. План перший вдається приблизно 7 разів на 10²².
У справедливій гріматематикаСправедлива граГра, у якій жодна сторона не має переваги: математичне сподівання кожної ставки дорівнює нулю.Читати повністю → ви дійшли б від $100 до $1 000 один раз із десяти, хоч би що робили, бо середня вартість ваших грошей лишається $100.
Перевага казино забирає 2,70% з кожної ставки, тож що менше ви ставите загалом, то ближче лишаєтеся до одного з десяти. План другий вирішує справу за жменю ставок: $100 стають $200, $400, $800, а тоді вистачає $200. Він вдається приблизно в 9,0% випадків. Плану першому потрібні тисячі ставок, доки блукання закінчиться, і перевага казино, мала на кожній із них, складається в майже певне розорення.
Це результат Дубінса і Севіджа в найпростішому вигляді (Epstein, 2013): у грі, що вигідна казино, ставте стільки, скільки потрібно, і якомога менше разів.
У вас $500, ви хочете $1 000 і зупиняєтеся, щойно їх маєте. Ви обираєте один вид ставки й повторюєте її, доки вона один раз не виграє або не скінчаться гроші. Який вид дає найкращий шанс?
Показати розв’язок
Відповідь Одна ставка $500 на червоне: 48,6%. Кожен план, що розподіляє гроші на менші ставки, дає гірший результат.
Оберіть кожну ставку так, щоб вистачило одного виграшу: $30 на пряму ставкуставкаПряма ставкаОдне число, виплата 35:1.Читати повністю → виграють $1 050, $60 на сплітставкаСплітДва сусідні числа, виплата 17:1.Читати повністю → виграють $1 020 і так далі. Тоді порахуйте ймовірність, що хоча б одна ставка виграє раніше, ніж скінчаться гроші. Шістнадцять прямих ставок по $30 усі промахуються з ймовірністю (36/37)¹⁶ = 64,5%, тож доходять до $1 000 у 35,5% випадків.
Таблиця показує кожну ставку. Найкраще червоне, бо доходить до мети однією ставкою, тож перевага казино сплачується лише раз, із $500. Другий – сикс-лайнставкаСикс-лайнШість чисел у двох сусідніх рядах, виплата 5:1. Французькою: sixain.Читати повністю →, бо йому потрібно лише три. Одна ставка на дюжинуставкаДюжина1–12, 13–24 або 25–36, виплата 2:1.Читати повністю → найгірша, шанс 12/37; навіть якщо грати дюжину одиницямигрошіОдиницяБазова ставка, якою оперує система або гравець. Прогресії описують в одиницях, щоб вони підходили для будь-якого столу.Читати повністю → по $250, доки не матимете $1 000 чи більше, вона доходить до мети лише в 46,4% випадків.
Боллман (Bollman, 2024) складає таку саму таблицю для американського колеса. У його рядку дюжини є помилка: там має бути 12/38 = 31,6%.
ставкаставка × кількість ставокймовірність дійти до $1 000Пряма ставка$30 × 1635,5%Спліт$60 × 835,9%Стріт$90 × 534,5%Каре$125 × 436,7%Сикс-лайн$166, $166, $16841,2%Дюжина$500 × 132,4%Червоне$500 × 148,6%Ви ставите одну одиницю на червоне, спін за спіном, маючи банкролгрошіБанкролУся сума, відкладена на гру. Керування банкролом – це рішення про те, якою його часткою ризикувати в одній ставці та в одній сесії.Читати повністю →, який ніколи не закінчується. Після першого спіну ви на одну одиницю в плюсі або в мінусі. Яка ймовірність, що колись ви знову опинитеся рівно при своїх?
Показати розв’язок
Відповідь 36 із 37, 97,3%. На американському колесі – 36 із 38, 94,7%.
Якщо перший спін виграє (18 разів із 37), ви на одну одиницю в плюсі, а перевага казино тягне вниз кожну нескінченну сесію, тож рано чи пізно ви знову пройдете через «при своїх»: це певно. Якщо він програє (19 разів із 37), вам треба піднятися на одну одиницю, а ймовірність колись опинитися на одну одиницю в плюсі становить 18/19 (див. таблицю вище).
Разом: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Загалом ця ймовірність дорівнює 1 мінус різниця між ймовірностями виграти й програти спін: 1 − 1/37 на європейському колесі, 1 − 2/38 на американському. У грі без зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю → різниці немає, і ймовірність дорівнює 1: рахунок завжди повертається до нуля. Загальне правило наводить Епштейн (Epstein, 2013).
Задача Паскаля 1656 року: два гравці кидають три кості, і в кожного на початку 12 жетонів. Кожне 11 переводить жетон до першого гравця, кожне 14 – до другого; інші кидки не враховуються. Яка ймовірність, що перший гравець виграє всі 24? А якщо замість цього ви на кожному спіні ставите 1 одиницю на червоне проти друга, який грає роль банку, і в кожного по 12 одиниць, яка ймовірність, що ви виграєте всі 24?
Показати розв’язок
Відповідь Перший гравець виграє приблизно 1 157 разів із 1 158. Ви, ставлячи на червоне, виграєте всі 24 одиниці лише приблизно в 34% випадків.
Три кості дають 11 у 27 варіантах, а 14 – у 15, тож кожен жетон, що переходить, дістається першому гравцеві 27 разів із 42, тобто 9 разів із 14. Коли кожна сторона починає з 12, ймовірність забрати все дорівнює 1/(1 + r¹²), де r – відношення ймовірності іншої сторони до вашої.
Для першого гравця r = 5/9, і (5/9)¹² ≈ 0,00086, тож ймовірність становить приблизно 0,99914: шанси 9¹² до 5¹², тобто 282 429 536 481 до 244 140 625, приблизно 1 157 до 1. Саме ці числа Гюйгенс опублікував 1657 року.
На червоному r = 19/18 через зеро, і (19/18)¹² ≈ 1,913: ваша ймовірність 1/2,913 ≈ 34,3%. Монета дала б 50%. Перевага 2,70% на кожній ставці за всі потрібні ставки складається в розрив у 16 пунктів.
Трохи гумору
Смілива гра оптимальна. Вона ж і закінчується швидко.
Джерела
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Лист до Гюйгенса від 28 вересня 1656 року про задачу, яку Паскаль поставив перед Ферма.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”