Критерій Келлі і рулетка

Критерій

Джон Келлі (John Kelly, 1956) поставив питання: як гравцеві з відомою перевагою визначати ставки, щоб на довгій дистанції максимізувати зростання банкролугрошіБанкролУся сума, відкладена на гру. Керування банкролом – це рішення про те, якою його часткою ризикувати в одній ставці та в одній сесії.Читати повністю →. Відповідь для ставки, що платить b до 1, з ймовірністюматематикаЙмовірністьМіра можливості результату: від 0 до 1 або від 0% до 100%. Одне число: 1/37 = 2,70%.Читати повністю → виграшу p і ймовірністю програшу q = 1 − p, – ставити частку f* = (bp − q) / b банкролу. Додатне f* означає ставити цю частку; нуль або від’ємне – не ставити. Келлі працював у Bell Labs, і його стаття «A new interpretation of information rate» розглядала задачу в межах теорії інформації Клода Шеннона (Claude Shannon): гравець, який отримує підказки лінією зв’язку з шумом і ставить за справедливих виплат, може збільшувати банкрол щонайбільше з тією швидкістю, з якою лінія передає інформацію. 1961 року Лео Брейман (Leo Breiman) довів, що гра за Келлі на довгій дистанції зрештою випереджає будь-яку суттєво іншу стратегію і досягає поставленої мети приблизно за найкоротший час.

Застосування до рулетки

Для червоногоставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Для прямої ставкиставкаПряма ставкаОдне число, виплата 35:1.Читати повністю →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Кожна стандартна ставка дає від’ємну частку Келлі, бо кожна ставка має від’ємну перевагу, а ставка, оптимальна для зростання, дорівнює нулю. Келлі – це формальний спосіб сказати те, що каже сторінка про перевагу казино: немає такого розміру, за якого ставка з від’ємним математичним сподіванням збільшує банкрол.

Де Келлі діяв

Гравці, які грали на перекосі колеса, мали перевагу і проблему розміру ставок. Джаггер (Jagger), Гарсія-Пелайо (García-Pelayo) та Євдемони мали вирішувати, скільки ставити на виміряну перевагу, а замала ставка марнує перевагу, тоді як завелика ризикує розоренням раніше, ніж перевага проявиться. Для коміркиобладнанняКоміркаОдне з 37 пронумерованих відділень на роторі. Також: лунка, гніздо.Читати повністю →, що випадає 1 раз із 30, Келлі радить 0,57% банкролу за спін на це число: при $10 000 це близько $57 за спін, а типове зростання – близько 0,054% за спін, або ×1,7 за 1 000 спінів. Середній приріст удвічі більший, 0,11% за спін, але Келлі цілиться в типовий банкрол, а не в середній, який роздувають кілька щасливих серій. Половинний Келлі – звичайний практичний вибір, бо оцінка переваги неточна.

Відомі гравці в рулеткуЄвдемони

Типовий і середній

Розрив між типовим банкролом і середнім великий. Візьміть комірку, яка випадає 1 раз із 25, тобто з перевагою 44%: таку цифру Торп (Thorp) наводить для свого пристрою. Келлі радить ставити на неї 1,26% банкролу. Після 1 000 спінів типовий банкрол зростає приблизно в 11,5 раза, а середній, який тягнуть угору кілька дуже вдалих серій, – приблизно в 249 разів. Ставки, більші за Келлі, піднімають середнє й знижують типовий результат: за подвійної ставки Келлі типовий банкрол лише подвоюється, а за двох з половиною ставок Келлі він уже зменшується, хоча кожна ставка й далі має перевагу 44%. Ставки, менші за Келлі, коштують мало: половина ставки зберігає близько трьох чвертей зростання.

Коли перевага – лише здогад

Келлі припускає, що перевага відома. За столом її оцінюють, і оцінка зазвичай завищена. Приклад Епштейна (Epstein), побудований на 44% Торпа: число, що випало 49 разів за 1 225 спінів на колесі з двома зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю →, – 1 раз із 25, перевага 44%, ставка Келлі 1,26%. Але чесне колесо з двома зеро має 38 чисел, і найчастіше з них випадає 49 чи більше разів за 1 225 спінів приблизно один раз із дев’яти. Найчастіше число в будь-якому записі – водночас те, якому найбільше допомогла удача, тож навіть справді перекошена комірка в записі виглядає кращою, ніж є насправді: це прокляття переможця. Якщо ж ця комірка насправді чесна, ставка Келлі – просто ставка, яка в середньому втрачає 5,26%. Звичайні відповіді – ставити частку від Келлі й рахувати далі, доки перевага не підтвердиться на новому записі (див. «Як виявити перекіс колеса»).

Люди з перевагою

Знати перевагу – не те саме, що добре нею скористатися. Хагані й Дьюї (Haghani and Dewey, 2016) дали 61 учасникові по $25 і пів години на ставки на монету, яка, як їм сказали, випадає орлом у 60% випадків; виграш був обмежений сумою $250 (про цю межу гравці дізнавалися, лише досягнувши її). За Келлі щоразу слід ставити на орла 20% банкролу, і автори оцінюють, що стабільні ставки на 10–20% досягали б межі приблизно в 95% випадків. Дійшли до неї лише 21% гравців. 28% розорилися, 18 із 61 поставили все на один кидок, приблизно третина закінчила з меншою сумою, ніж $25 на початку, а середня виплатагрошіВиплатаТе, що приносить виграшна ставка; записується як «X до 1» понад повернену ставку.Читати повністю → становила $91. Лише п’ятеро з 61 чули про критерій Келлі. Коли перевага є, розмір ставок вирішує, чи ви її збережете; коли її немає, як за чесним колесом, жоден розмір не допоможе.

Що використовувати натомість

Без переваги визначення ставки – питання бюджету, а не зростання: ставка = скільки ви готові витратити за спін, виходячи з погодинного бюджету і темпу столу (сторінка про керування банкролом). Внесок Келлі для звичайного гравця – ясність відповіді: нуль. Усе, що ви ставите понад нуль, – це ціна гри, яку обираєте ви, а не оптимізує жодна формула.

Примітка про частковий Келлі і «керування грошима»

Системи, що продаються як «Келлі для рулетки» і радять фіксований відсоток банкролу на ставку, – це гра фіксованою ставкоюстратегіяГра фіксованою ставкоюСтавити ту саму суму на кожному спіні. База, з якою порівнюють кожну прогресію.Читати повністю → зі ставкою, що зменшується. Вони програють 2,70% суми ставокгрошіСума ставокЗагальна сума, поставлена за сесію або період, разом із повторно поставленими виграшами. Також: handle, action.Читати повністю →, а оскільки ставка зменшується разом із програшем, вони роблять розорення повільним, а не малоймовірним. Це розумний спосіб розтягнути бюджет; але це не Келлі, який сказав би зупинитися.

Гра фіксованою ставкою

Формула

Запитання