Незвичайні колеса
Колеса з 18, 25, 26, 31, 40, 49, 62, 73 або 105 комірками. Майже всі вони оцінюються за одним правилом: часткою комірок, які виплати ігнорують.
Коли виплати встановлено так, ніби комірок казино немає, перевага казиноматематикаПеревага казиноЧастка кожної ставки, яку казино в середньому залишає собі: 2,70% у європейській рулетці.Читати повністю → дорівнює кількості комірок казино, поділеній на загальну кількість комірок, хоч яким би великим було колесо. Більшість незвичайних коліс підкоряються цьому правилу. Цікаві ті, що його порушують: заокруглена виплата, бонусний раунд або ставка, яка залишається на полі кілька спінів.
Одне правило для будь-якого колеса
Європейська рулеткарізновидЄвропейська рулеткаКолесо з одним зеро, 37 комірок, перевага казино 2,70%. Основна модель на цьому сайті.Читати повністю → виплачує 35 до 1 так, ніби колесо мало 36 комірокобладнанняКоміркаОдне з 37 пронумерованих відділень на роторі. Також: лунка, гніздо.Читати повністю →. Їх 37, і відсутня в розрахунку комірка – це перевага 2,70%. Те саме правило працює на будь-якому колесі: якщо є N чисел і Z комірок казино, ставка на n чисел із виплатою (N − n)/n до 1 має перевагу Z/(N + Z). За цим правилом будували або пропонували колеса будь-якого розміру, а таблиця впорядковує їх за ціною.
Більше може бути дешевше
Гравці сприймають колесо з 62 комірками як ставку на малоймовірніше й вважають гру гіршою. Перевага казино залежить лише від частки комірок казино. Super 62 має два зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю →, як американське колесо, але це 2 із 62 комірок, а не 2 із 38, тож вона коштує 3,23% проти 5,26%. Roulette 73 із 72 числами й одним зеро коштувала б 1,37%, приблизно стільки ж, скільки рівні шанси у французькій рулетці. На малому колесі правило працює навпаки. Боллман описує старовинне колесо на 18 комірок: від 1 до 16 плюс 0 і 00. За правилом кожна ставка коштувала б 2/18, 11,11%: дві комірки казино – це велика частка малого колеса.
Де правило порушується: заокруглення
ВиплатагрошіВиплатаТе, що приносить виграшна ставка; записується як «X до 1» понад повернену ставку.Читати повністю → має бути зручною сумою у фішкахгрошіФішкаЖетон, що позначає певну суму; його кладуть на ігрове поле, щоб зробити ставку. Також: check.Читати повністю →, і коли правило дає дріб, казино заокруглює вниз. Ставка Avenue у 100 To 1 Roulette покриває 15 комірок і мала б виплачувати 5⅔ до 1; вона виплачує 11 до 2, що піднімає її перевагу з 4,76% до 7,14%. На Super 62 сім чисел містять цифру 6 (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60), і ставка на цю цифру виплачує 7 до 1, що дає 9,68%, утричі більше, ніж на решті ігрового поляобладнанняІгрове полеНадрукована сітка для ставок на столі. Також: стіл, сукно, полотно.Читати повністю →. Ставка White у Riverboat Roulette покриває 8 чисел із виплатою 7 до 2; за столом без фішок по 50 центів виграшні $5 оплачують $17, а не $17,50, що піднімає перевагу з 5,26% до 7,37%. Американська ставка на п’ять чисел із 7,89% – знайомий приклад того самого.
Де правило порушується: бонуси
Fast Action Roulette, запущена в Marina Bay Sands 2020 року, використовує справжнє колесо з чотирма зеро, яке саме по собі коштувало б 10%. На кожному спіні випадково підсвічуються десять чисел Bonus. Пряма ставкаставкаПряма ставкаОдне число, виплата 35:1.Читати повністю → виплачує 35 до 1, 40 до 1, якщо її число – Bonus, і 80 до 1, якщо весь її ряд із чотирьох чисел – Bonus, що знижує перевагу до 6,65%. Три інші ставки гри коштують значно дорожче. Double Bonus Spin від IGT додає до американського колеса жовту комірку Bonus завширшки в півтори комірки; коли кулькаобладнанняКулькаМаленька кулька, яку запускають доріжкою проти обертання ротора. Сучасні кульки роблять з іворину або тефлону, 18–21 мм.Читати повністю → падає туди, кожна ставка отримує два безкоштовні спіни. За нашим розрахунком це знижує перевагу до значень від 1,94% (пряма ставка) до 2,73% (рівні шанси), нижче, ніж на звичайному американському колесі. Боллман (Bollman, 2021) наводить для цієї гри від 3% до 16%; у його спрощеній формулі є алгебрична помилка, і для ставок на рівні шансиставкаСтавка на рівні шансиЧервоне/чорне, непарне/парне, велике/мале. 18 чисел, виплата 1:1.Читати повністю → з неї випливає, що безкоштовні спіни програють більше за саму ставку, чого бути не може.
Де правило порушується: ставки, що залишаються на полі
Riverboat Roulette (2012) дала 32 числам американського колеса другий колір. Білим (White) позначено чотири комірки навколо кожного зеро (1, 2, 9, 10, 13, 14, 27, 28). Ставка на кольорову групу виграє, якщо одне з її чисел випаде раніше за одне з восьми білих чисел. Біле число – це «White Out», що знімає всі ставки на кольори. Будь-яке інше число дає нічию: ставка залишається на полі, і між спінами її можна зняти або збільшити. Бірюзова група покриває три числа й виплачує 2 до 1. На завершену ставку вона програє 2/11 суми ставки, 18,18%. На спін вона програє 2/38, знайомі 5,26%, бо в середньому ставка лежить на полі 38/11, приблизно 3,5 спіну.
Колесо, яке Торп умів передбачати: Big Six
Big Six, або колесо фортуни, – велике вертикальне колесо з 54 пазами: 24 виплачують 1 до 1, 15 – 2 до 1, сім – 5 до 1, чотири – 10 до 1, два – 20 до 1, а два пази з логотипом – 40 до 1. Зеро немає; казино бере свою частку, недоплачуючи, і перевага коливається від 11,1% на пазах, що виплачують 1 до 1, до 24,1% на логотипах. 1961 року Торп (Thorp) збудував для нього пристрій для передбачення завбільшки із сірникову коробку, яким керували перемикачем під пальцем ноги, а 1981 року, хронометруючи наручним годинником один оберт колеса в казино, виявив, що зазвичай може назвати точку зупинки з точністю до п’яти пазів. Ставки лише на високооплачувані пази поблизу передбачення дали б близько +211%, якби ставки приймали після запуску колеса. Їх не приймають, а колесо обертається повільно й на очах у всіх, тож запізнілу ставку було б помітно; Торп писав, що в цій грі надто мало пожвавлення, щоб її приховати.
Чому так мало з них приживається
Професійне колесо коштує тисячі доларів, а колесо з незвичайною кількістю комірок доводиться виготовляти на замовлення. Тож більшість нових ігор у рулетку зберігають стандартне колесо й додають ставки, і тому сторінка про побічні ставки довша за цю. Колесо з орлом на 31 комірку в Америці XIX століття, з перевагою 12,90% на одне число і 9,68% на все інше, загинуло через власну ціну. Ідея третьої комірки казино повернулася 2016 року на колесі з 39 комірками, де вона коштує 7,69%.
Запитання
Саме по собі – ні. Перевага казино – це частка комірок казино: 1 із 73 дешевше, ніж 1 із 37.
Roulette 73 з 1,37%, але це опублікований проєкт, а не стіл, який ви, найімовірніше, знайдете. Серед коліс, які справді пропонували гравцям, після європейської та французької рулетки йде Super 62 з 3,23%.
За бонус треба платити, зазвичай зниженням базової виплати або окремою ставкою з високою перевагою.
Цікава математика
Спершу спробуйте розв’язати самі. Кожен розв’язок згорнуто; відкрийте його, коли будете готові.
Royal Roulette, розроблена в Австралії, має 50 комірокобладнанняКоміркаОдне з 37 пронумерованих відділень на роторі. Також: лунка, гніздо.Читати повністю →: 48 карт від 2 до короля, плюс один туз і один джокер. Одна карта виплачується 47 до 1, дві карти – 23 до 1, три – 15 до 1, чотири – 11 до 1, шість – 7 до 1, вісім – 5 до 1, дванадцять – 3 до 1, шістнадцять – 2 до 1 і двадцять чотири – 1 до 1. Яке правило дає ці виплатигрошіВиплатаТе, що приносить виграшна ставка; записується як «X до 1» понад повернену ставку.Читати повністю → і скільки коштує кожна ставка?
Показати розв’язок
Відповідь Кожна ставка на n карт виплачується (48 − n)/n до 1, тож кожна ставка коштує 2/50 = 4%.
Перевірте правило на кількох ставках: 47/1 = 47, 36/12 = 3, 32/16 = 2, 24/24 = 1. Воно підходить до всіх дев’яти. Правило оцінює колесо так, ніби в ньому 48 комірок, тож туз і джокер – дві комірки казино, точно як 0 і 00 на американському колесі.
Дві комірки казино з 50 дають перевагу 4%. «Європейська» версія прибирає джокера й зберігає виплати: одна комірка казино з 49, перевага 2,04%.
Super 62 має ставку на те, що обрана цифра є у виграшному числі. Сконструюйте таку саму ставку для звичайного американського колеса. Скільки чисел від 1 до 36 містять кожну цифру і які виплати зберегли б звичні 5,26%?
Показати розв’язок
Відповідь Чисті виплати (11 до 1 і 8 до 1) мають лише цифри, що трапляються в 3 або 4 числах. Цифри 1, 2 і 3 не можна справедливо оплатити цілими фішкамигрошіФішкаЖетон, що позначає певну суму; його кладуть на ігрове поле, щоб зробити ставку. Також: check.Читати повністю →.
Порахуйте числа. Цифра 1 є в 1, від 10 до 19, 21 і 31: 13 чисел. Цифра 2 теж є в 13 числах, а цифра 3 – у 10. Цифри 4, 5 і 6 є в чотирьох числах кожна (4, 14, 24, 34), а 7, 8 і 9 – у трьох кожна.
Ставка на n чисел зберігає американську перевагу, якщо виплачує (36 − n)/n до 1. Це дає 8 до 1 для чотирьох чисел і 11 до 1 для трьох, обидві цілі. Для 13 чисел виходить 23/13, приблизно 1,77 до 1, а для 10 чисел – 2,6 до 1. Заокругліть 1,77 вниз до 7 до 4 – і ставка коштує 5,92%; заокругліть угору до 2 до 1 – і гравець має перевагу 2,63%. Заокруглення 2,6 вниз до 5 до 2 дає 7,89%.
Цифра 0 – справа вибору: лише 10, 20 і 30 виплачуються 11 до 1 при 5,26%; додайте 0 і 00 – і це ставка на п’ять чисел, 6 до 1 при 7,89%, як basketставкаПерша четвіркаНа колесі з одним зеро: 0, 1, 2, 3 однією фішкою, виплата 8:1. Також: basket, quatre premiers.Читати повністю →.
цифрачиселза правиломможлива виплатаперевага казино1, 2131,77 до 17 до 45,92%3102,6 до 15 до 27,89%4, 5, 648 до 18 до 15,26%7, 8, 9311 до 111 до 15,26%100 To 1 Roulette на більшості ставок виплачує (100 − n)/n до 1 на колесі зі 100 числами та 5 символами казино. Її ставки покривають 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 або 50 комірок і виплачують 100, 49, 32, 24, 19, 9, 11 до 2, 4 і 1 до 1. Пряма ставкаставкаПряма ставкаОдне число, виплата 35:1.Читати повністю → і Avenue на 15 комірок порушують правило. Яка ще ставка його порушує і скільки вона коштує?
Показати розв’язок
Відповідь Ставка на три комірки: за правилом 32⅓ до 1, виплачується 32 до 1 і коштує 5,71% замість 4,76%.
Порівняйте кожну виплату з правилом: 98/2 = 49, 96/4 = 24, 95/5 = 19, 90/10 = 9, 80/20 = 4 і 50/50 = 1 – усе збігається. Для трьох комірок правило дає 97/3 = 32⅓, а такого фішками не виплатиш, тож це заокруглено вниз до 32.
Ставка виграє 3 рази за 105 спінів і тоді повертає 33 одиницігрошіОдиницяБазова ставка, якою оперує система або гравець. Прогресії описують в одиницях, щоб вони підходили для будь-якого столу.Читати повністю → разом зі ставкою: 3 × 33 = 99 одиниць назад на кожні 105 поставлених, програш 6/105 = 5,71%.
Roulette 73, опублікований проєкт, має 72 числа й одне зероколесоЗероЄдина зелена комірка, якої не покриває жодна ставка на рівні шанси, на дюжину чи на колонку; джерело переваги казино. Також: одне зеро, 0.Читати повністю →, і кожна ставка виплачує (72 − n)/n до 1. Його 24 сірі числа можна покрити 14 фішками: 4 прямі ставки й 10 сплітівставкаСплітДва сусідні числа, виплата 17:1.Читати повністю →. Скільки коштує ця ставка з 14 фішок?
Показати розв’язок
Відповідь 1,37% від 14 фішок, як і будь-яка інша ставка на цьому колесі.
Довгий шлях: пряма ставка виплачує 71 до 1, а спліт – 35 до 1. Якщо випадає одне з 4 чисел прямих ставок, ви виграєте 71 і програєте інші 13 фішок: +58. Якщо одне з 20 чисел сплітів: +35 − 13 = +22. На решті 49 комірок ви програєте всі 14. У середньому за 73 спіни: 4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14 одиниць, тобто 1/73 кожної фішки.
Короткий шлях: математичні сподіванняматематикаМатематичне сподіванняСередній результат однієї ставки на довгій дистанції. Для кожної стандартної європейської ставки це −1/37 ставки.Читати повністю → додаються. Кожна фішка – звичайна ставка, що програє 1/73 своєї суми, тож 14 фішок програють 14/73. Поєднання ставок змінює розкид результатів, але ніколи не змінює їхньої вартості.
Super 62 має 60 чисел, 0 і 00 і виплачує (60 − n)/n до 1. Її автори також намалювали варіанти з однією, трьома й чотирма комірками казино. Alphabetic Roulette виплачує (24 − n)/n до 1 на 25 комірках і має варіант, у якому Y і Z мають окремі комірки. Оцініть усі п’ять.
Показати розв’язок
Відповідь З одним–чотирма зеро: 1,64%, 3,23%, 4,76% і 6,25%. Alphabetic з окремими Y і Z: 7,69%.
Кожне з цих коліс зберігає свої виплати й змінює лише кількість комірок казино, тож перевага дорівнює комірки казино ÷ усі комірки.
Одне зеро, 61 комірка: 1/61 = 1,64%. Два, 62 комірки: 2/62 = 3,23%. Три, 63 комірки: 3/63 = 4,76%. Чотири, 64 комірки: 4/64 = 6,25%. Кожне додане зеро коштує приблизно півтора пункту.
Alphabetic виплачує так, ніби в ній 24 літери. Коли Y і Z ділять одну комірку, казино має 1 із 25, 4%. Коли Y і Z окремо – 2 із 26, 7,69%, стільки ж, скільки колесо з потрійним зеро. Розділивши одну комірку надвоє, ціну майже подвоїли.
колесокоміроккомірок казиноперевага казино60 чисел, одне зеро6111,64%Super 626223,23%60 чисел, три зеро6334,76%Super 646446,25%Alphabetic2514,00%Alphabetic, Y і Z окремо2627,69%Старовинне колесо має 18 комірок: від 1 до 16, 0 і 00. Непарні числа й 0 – червоніставкаЧервонеСтавка на рівні шанси на 18 червоних чисел. Французькою: rouge.Читати повністю →, парні числа й 00 – чорніставкаЧорнеСтавка на рівні шанси на 18 чорних чисел. Французькою: noir.Читати повністю →, а 16 чисел розміщено на ігровому поліобладнанняІгрове полеНадрукована сітка для ставок на столі. Також: стіл, сукно, полотно.Читати повністю → 4 на 4. Складіть таблицю виплатгрошіТаблиця виплатПерелік того, скільки виплачує кожна ставка чи результат. В автоматах і побічних ставках саме тут встановлюється перевага казино.Читати повністю →, яка дає кожній ставці однакову перевагу. І чому 0 мусить програвати ставку на червоне, хоча він червоний?
Показати розв’язок
Відповідь Виплачуйте (16 − n)/n до 1: 15 до 1 за одне число, 7 за два, 3 за чотири, 1 за вісім. Кожна ставка коштує 11,11%. Якби 0 вигравав ставку на червоне, червоне було б справедливою ставкою.
Оцініть колесо так, ніби 0 і 00 немає. Ставка на n чисел виграє n разів із 18 і виплачує (16 − n)/n до 1, тож повертає 16 одиниць разом зі ставкою на кожні 18 поставлених. Кожна ставка коштує 2/18, 11,11%.
Природні ставки ігрового поля виходять цілими: одне число 15 до 1, два сусідні 7 до 1, ряд або колонкаставкаКолонкаДванадцять чисел в одній вертикальній колонці ігрового поля, виплата 2:1.Читати повністю → з чотирьох 3 до 1, а два ряди або вісімка непарних, парних, малих чи великих – 1 до 1. Ставці на три числа знадобилося б 4⅓ до 1; із виплатою, заокругленою вниз до 4 до 1, вона коштує 16,67%.
Червоне покриває вісім непарних чисел. Якби 0, будучи червоним, теж вигравав ставку на червоне, червоне покривало б 9 із 18 комірок при 1 до 1: справедлива граматематикаСправедлива граГра, у якій жодна сторона не має переваги: математичне сподівання кожної ставки дорівнює нулю.Читати повністю → без жодної переваги. Комірки казино заробляють свою перевагу лише тим, що програють кожну ставку, крім ставки на самих себе.
Трохи гумору
Порахуйте комірки казино, а потім шукайте заокруглення.
Джерела
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”