Математика · Ключове поняття · 7 хв

Математичне сподівання

Середній результат ставки, якби її можна було повторювати безкінечно. У європейській рулетці він однаковий для кожної стандартної ставки: у середньому ви програєте 1/37 кожної ставки за спін.

Простими словами

Уявіть, що ви мільйон разів ставите ту саму ставку $10 на червоне. Деякі спіни виграють $10, деякі програють $10. Складіть усі результати й поділіть на мільйон: вийде приблизно −$0,27. Це число і є математичним сподіванням. Це не те, що відбувається на якомусь одному спіні, а середнє за спін на довгій дистанції.

Коротка відповідьEV = ймовірність виграшу × сума виграшу − ймовірність програшу × сума програшу. Для кожної стандартної ставки в рулетці це становить −2,70% від ставки.

Формула

EV = p · W − (1 − p) · S
p = n/37 · W = S·(36/n − 1) · n = покриті числа · S = ставка

Підставте правило виплат рулетки, 36/n − 1, і n скорочується. Уся історія переваги казино – в одному рядку:

EV = (n/37)·S·(36/n − 1) − ((37−n)/37)·S
= S·(36 − n − 37 + n)/37
= −S/37

Спробуйте

Виберіть, скільки чисел покриває ставка. Ймовірність і виплата змінюються, математичне сподівання – ні.

покрито 1 число · виплата 35:1ставка $10

програш 97,3%

p(виграш)1/37 = 2,70%

виграш дає+$350

програш коштує−$10

EV = p·W − (1−p)·S0,0270·$350 − 0,9730·$10

математичне сподівання−$0,27 за спін · −2,70%

Як це виглядає з часом

Середній результат за спін для ставки $10 на червоне в міру того, як накопичуються спіни. Спочатку переважає удача; зі зростанням вибірки поточне середнє наближається до −$0,27. Це і є та збіжність на довгій дистанції, на яку покладається казино.

Поширені хибні уявлення

«Від’ємне EV означає, що я програватиму кожну сесію».

Ні. Це означає, що в середньому за багато сесій буде програш. Окремі сесії дуже різняться, особливо для ставок із високою дисперсією, як-от пряма ставка.

«Казино потрібно багато часу, щоб виграти».

Перевага казино діє на кожному спіні; довга дистанція лише робить результат передбачуваним. У межах однієї сесії удача важить більше.

«У деяких ставок EV краще, ніж в інших».

У європейській рулетці – ні, за одним винятком: за правилом la partage або en prison ставки на рівні шанси мають удвічі меншу перевагу казино, ніж зазвичай.